Teilaufgabe 2a

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Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt.

Der Graph der Funktion \(f\) hat den Hochpunkt \((0|5)\,\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Betrachtung bekannter Grundtypen von Funktionen:

 

Potenzfunktion mit natürlichem geraden Exponenten

 

\[f(x) = ax^n + 5\,, \enspace D = \mathbb R\,, \enspace a < 0\,, \enspace n = 2k\,, \enspace k \in \mathbb N\]

 

Der Graph von \(f\) ist eine nach unten geöffnete Parabel n-ter Ordnung mit dem Scheitelpunkt \(S\,(0|5)\), welcher absoluter Hochpunkt von \(f\) ist.

 

Beispiele:

\[f_1(x) = -x^2 + 5\]

\[f_2(x) = -2x^4 + 5\]

 

Graphen der Potenzfunktionen f₁ und f₂

Graphen der Potenzfunktionen \(f_1\) und \(f_2\)

 

Allgemeine Kosinusfunktion

\[f(x) = a \cdot \cos (bx + c) + d\,, \enspace D = \mathbb R\,, \enspace a,b,c,d \in \mathbb R\,, \enspace a,b \neq 0\]

 

Die Parameter \(a\) und \(d\) bestimmen die \(y\)-Koordinate der Hochpunkte einer allgemeinen Kosinusfunktion. Es muss gelten: \(\,a + d = 5\,\).

Der Parameter \(b\) streckt bzw. staucht die Kosinusfunktion in \(x\)-Richtung. Er hat auf einen Hochpunkt an der Stelle \(x = 0\) keinen Einfluss.

Eine mögliche Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(\displaystyle -\frac{c}{b}\) muss gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodenlänge \(\displaystyle \frac{2\pi}{\vert b \vert}\) sein.

 

Beispiele:

\[f_3(x) = 5 \cdot \cos x\]

\[f_4(x) = 2 \cdot \cos (2x + 2\pi) + 3 = 2 \cdot \cos \left[2(x + \pi)\right] + 3\]

 

Graphen der Kosinusfunktionen f₃ und f₄

Graphen der Kosinusfunktionen \(f_3\) und \(f_4\)

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