Teilaufgabe 3b

Lösung zu Teilaufgabe 3b

\[f(x) = \sin(2x)\,; \enspace D_f = \mathbb R\]

\[\int_0^2 f(x)\,dx = [F(x)]_0^2\]

Stammfunktion \(F(x)\) bestimmen:

\[f(ax + b) = \sin(2x) \quad \Longrightarrow \quad ax + b = 2x \quad \Longrightarrow \quad a = 2\,, \enspace b = 0\]

\[f(x) = \sin(2x) \quad \Longrightarrow \quad F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C\]

Bestimmtes Integral berechnen:

\[\begin{align*} \int_0^2 f(x)\,dx &= \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_0^2 \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 2) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) \right) \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}\cos(4) + \frac{1}{2}\underbrace{\cos(0)}_{1} \\[0.8em] &= \frac{1}{2}\Big(1 - \cos(4)\Big) \\[0.8em] &\approx 0{,}83 \end{align*}\]

Das bestimmte Integral \(\int_0^2 f(x)\,dx\) errechnet die Flächenbilanz der Flächeninhalte, die der Graph von \(f\) im Intervall \([0;2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Dabei zählt es Flächeninhalte oberhalb der \(x\)-Achse positiv und Flächeninhalte untehalb der \(x\)-Achse negativ.

Die Funktion \(f\) besitzt im Intervall \([0;2]\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Im Intervall \([0;\frac{\pi}{2}[\) verläuft \(G_f\) oberhalb, im Intervall \(]\frac{\pi}{2};2]\) verläuft \(G_f\) unterhalb der \(x\)-Achse. Das Ergebnis des Integrals \(\int_0^2 f(x)\,dx\) ist folglich die Differenz der Flächeninhalte, die der Graph von \(f\) im Intervall \([0;\frac{\pi}{2}[\) sowie im Intervall \(]\frac{\pi}{2};2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

In die Berechnung des Flächeninhalts \(A\,\), den der Graph von \(f\) im Intervall \([0;2]\) mit \(x\)-Achse einschließt, muss der Wert des Integrals \(\int_{\frac{\pi}{2}}^2 f(x)\,dx\) positiv eingehen:

Ergänzung (nicht Teil der Prüfung!):

Flächeninhalt der Fläche, die für \(0 \leq x \leq 2\) zwischen dem Graphen von \(f\) un der \(x\)-Achse liegt

Die nachfolgende Berechnung des Flächeninhalts ist nicht Teil der Prüfung. Sie soll lediglich dem besseren Verständnis dienen.

\[\begin{align*} A &= A_1 + A_2 \\[0.8em] &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,dx + \left|\, \int_{\frac{\pi}{2}}^2 f(x)\,dx\, \right| \\[0.8em] &= \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \left| \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{\frac{\pi}{2}}^2 \right| \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) \right) + \left| \, -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 2) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) \right) \right| \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \underbrace{\cos(\pi)}_{-1} + \frac{1}{2} \underbrace{\cos(0)}_{1} + \left| \, -\frac{1}{2}\cos(4) + \frac{1}{2} \underbrace{\cos(\pi)}_{-1} \, \right| \\[0.8em] &\approx 1 + \vert -0{,}17 \vert \\[0.8em] &= 1{,}17 \end{align*}\]