Lösung zu Teilaufgabe 4
Vorschau: Ableitungsfunktion \(f'\) skizzieren
Näherungswert für \(f'(0)\)
Tangentensteigung
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
Die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) liefert den Näherungswert für \(f'(0)\,\).

Tangente \(t\) an \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\)
\[f'(0) = m_t = \frac{\Delta \, y}{\Delta \, x} \approx \frac{2{,}2}{1} = 2{,}2\]
Nullstelle von \(f'\)

Hochpunkt \(\,HoP\,\) von \(\,G_f\,\), Nullpunkt \(\,(x_{HoP}|0)\,\) von \(\,G_{f'}\,\)
Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x \approx 3{,}3\) einen Hochpunkt und somit eine waagrechte Tangente \(t\,\).
Tangentensteigung
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\Longrightarrow \quad f'(x_{HoP}) = m_t = 0\]
Verhalten von \(f'\) in der Umgebung der Nullstelle:
Monotoniekriterium
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\(f\,\) steigt streng monoton für \(\,x < x_{HoP}\) \(\quad \Longrightarrow \quad f'(x) > 0\,\) für \(\,x < x_{HoP}\)
\(f\,\) fällt streng monoton für \(\,x > x_{HoP}\) \(\, \enspace \quad \Longrightarrow \quad f'(x) < 0\,\) für \(\,x > x_{HoP}\)
Verhalten von \(f'\) für \(x \to 5\)

Tangenten \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) für \(\,x \to 5\)
Tangentensteigung
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
An der Stelle \(x = 4\) lässt sich die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) noch gut bestimmen.
\[f'(4) = m_t = \frac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \frac{-1}{1} = -1\]
Für \(x \to 5\) nimmt die Tangentensteigung \(m_t\) beliebig große negative Werte an, bis sie an der Stelle \(x = 5\) nicht mehr existiert. Der Graph von \(f\) steht im Punkt \((5|0)\) senkrecht zur \(x\)-Achse.
\[\lim \limits_{x\,\to\,5^-} f'(x) = -\infty\]
Der Graph der Ableitugsfunktion \(f'\) nähert sich von links der senkrechten Asymptote mit der Gleichung \(x = 5\) an.
Zusammenfassung der Ergebnisse, Skizzieren von \(G_{f'}\)
\[f'(0) \approx 2{,}2\]
\[f'(3{,}3) = 0\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,5^-} f'(x) = -\infty\]

Graph der Funktion \(\,f\,\) und Graph der Ableitungsfunktion \(\,f'\,\)