Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(]-\infty;5[\) definierten Funktion \(f\,\).
Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\,\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für \(f'(0)\), die Nullstelle von \(f'\) und das Verhalten von \(f'\) für \(x \mapsto 5\,\).
Abb. 1
(4 BE)
Tangente \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) an der Stelle \(\,x = 0\;\): \(f'(0) \approx 2{,}2\)
Tangente \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) an der Stelle \(\,x = 0\;\): \(f'(0) \approx 2{,}2\)
An der Stelle \(\,x \approx 3{,}3\,\) besitzt \(\,G_f\,\) einen Hochpunkt: \(\,f'(3{,}3) = 0\)
An der Stelle \(\,x \approx 3{,}3\,\) besitzt \(\,G_f\,\) einen Hochpunkt: \(\,f'(3{,}3) = 0\)
Tangenten \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) für \(\,x \to 5\;\): \(\,\lim \limits_{x\,\to\,5} f'(x) = -\infty\)
Tangenten \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) für \(\,x \to 5\;\): \(\,\lim \limits_{x\,\to\,5} f'(x) = -\infty\)
Graphen der Funktion \(\,f\,\) und der Ableitungsfunktion \(\,f'\,\)
Graphen der Funktion \(\,f\,\) und der Ableitungsfunktion \(\,f'\,\)
Die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) liefert den Näherungswert für \(f'(0)\,\).
Tangente \(t\) an \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\)
\[f'(0) = m_t = \frac{\Delta \, y}{\Delta \, x} \approx \frac{2{,}2}{1} = 2{,}2\]
Hochpunkt \(\,HoP\,\) von \(\,G_f\,\), Nullpunkt \(\,(x_{HoP}|0)\,\) von \(\,G_{f'}\,\)
Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x \approx 3{,}3\) einen Hochpunkt und somit eine waagrechte Tangente \(t\,\).
\[\Longrightarrow \quad f'(x_{HoP}) = m_t = 0\]
Verhalten von \(f'\) in der Umgebung der Nullstelle:
\(f\,\) steigt streng monoton für \(\,x < x_{HoP}\) \(\quad \Longrightarrow \quad f'(x) > 0\,\) für \(\,x < x_{HoP}\)
\(f\,\) fällt streng monoton für \(\,x > x_{HoP}\) \(\, \enspace \quad \Longrightarrow \quad f'(x) < 0\,\) für \(\,x > x_{HoP}\)
Tangenten \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) für \(\,x \to 5\)
An der Stelle \(x = 4\) lässt sich die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) noch gut bestimmen.
\[f'(4) = m_t = \frac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \frac{-1}{1} = -1\]
Für \(x \to 5\) nimmt die Tangentensteigung \(m_t\) beliebig große negative Werte an, bis sie an der Stelle \(x = 5\) nicht mehr existiert. Der Graph von \(f\) steht im Punkt \((5|0)\) senkrecht zur \(x\)-Achse.
\[\lim \limits_{x\,\to\,5^-} f'(x) = -\infty\]
Der Graph der Ableitugsfunktion \(f'\) nähert sich von links der senkrechten Asymptote mit der Gleichung \(x = 5\) an.
\[f'(0) \approx 2{,}2\]
\[f'(3{,}3) = 0\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,5^-} f'(x) = -\infty\]
Graph der Funktion \(\,f\,\) und Graph der Ableitungsfunktion \(\,f'\,\)
