Teilaufgabe 4

Analysis I - Teil 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(]-\infty;5[\) definierten Funktion \(f\,\).

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(f'\,\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für \(f'(0)\), die Nullstelle von \(f'\) und das Verhalten von \(f'\) für \(x \mapsto 5\,\).

Abbildung 1: Graph von fAbb. 1

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4

 

Vorschau: Ableitungsfunktion \(f'\) skizzieren

  • Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 1

    Tangente \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) an der Stelle \(\,x = 0\;\): \(f'(0) \approx 2{,}2\)

    Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 1

    Tangente \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) an der Stelle \(\,x = 0\;\): \(f'(0) \approx 2{,}2\)

  • Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 2

    An der Stelle \(\,x \approx 3{,}3\,\) besitzt \(\,G_f\,\) einen Hochpunkt: \(\,f'(3{,}3) = 0\)

    Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 2

    An der Stelle \(\,x \approx 3{,}3\,\) besitzt \(\,G_f\,\) einen Hochpunkt: \(\,f'(3{,}3) = 0\)

  • Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 3

    Tangenten \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) für \(\,x \to 5\;\): \(\,\lim \limits_{x\,\to\,5} f'(x) = -\infty\)

    Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 3

    Tangenten \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) für \(\,x \to 5\;\): \(\,\lim \limits_{x\,\to\,5} f'(x) = -\infty\)

  • Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 4

    Graphen der Funktion \(\,f\,\) und der Ableitungsfunktion \(\,f'\,\)

    Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 4

    Graphen der Funktion \(\,f\,\) und der Ableitungsfunktion \(\,f'\,\)

  • Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 1
  • Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 2
  • Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 3
  • Ableitungsfunktion skizzieren - Grafik 4

 

Näherungswert für \(f'(0)\)

Die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) liefert den Näherungswert für \(f'(0)\,\).

 

Tangente an den Graphen von f im Punkt (0|0)

Tangente \(t\) an \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\)

 

\[f'(0) = m_t = \frac{\Delta \, y}{\Delta \, x} \approx \frac{2{,}2}{1} = 2{,}2\]

 

Nullstelle von \(f'\)

 

Hochpunkt des Graphen von f, Nullstelle des Graphen von f'

Hochpunkt \(\,HoP\,\) von \(\,G_f\,\), Nullpunkt \(\,(x_{HoP}|0)\,\) von \(\,G_{f'}\,\)

 

Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x \approx 3{,}3\) einen Hochpunkt und somit eine waagrechte Tangente \(t\,\).

\[\Longrightarrow \quad f'(x_{HoP}) = m_t = 0\]

 

Verhalten von \(f'\) in der Umgebung der Nullstelle:

\(f\,\) steigt streng monoton für \(\,x < x_{HoP}\) \(\quad \Longrightarrow \quad f'(x) > 0\,\) für \(\,x < x_{HoP}\)

\(f\,\) fällt streng monoton für \(\,x > x_{HoP}\) \(\, \enspace \quad \Longrightarrow \quad f'(x) < 0\,\) für \(\,x > x_{HoP}\)

 

Verhalten von \(f'\) für \(x \to 5\)

 

Tangenten an den Graphen f bzw. Verhalten des Graphen von f' für x → 5

Tangenten \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) für \(\,x \to 5\)

An der Stelle \(x = 4\) lässt sich die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) noch gut bestimmen.

 

\[f'(4) = m_t = \frac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \frac{-1}{1} = -1\]

 

Für \(x \to 5\) nimmt die Tangentensteigung \(m_t\) beliebig große negative Werte an, bis sie an der Stelle \(x = 5\) nicht mehr existiert. Der Graph von \(f\) steht im Punkt \((5|0)\) senkrecht zur \(x\)-Achse.

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,5^-} f'(x) = -\infty\]

 

Der Graph der Ableitugsfunktion \(f'\) nähert sich von links der senkrechten Asymptote mit der Gleichung \(x = 5\) an.

 

Zusammenfassung der Ergebnisse, Skizzieren von \(G_{f'}\)

 

\[f'(0) \approx 2{,}2\]

\[f'(3{,}3) = 0\]

\[\lim \limits_{x\,\to\,5^-} f'(x) = -\infty\]

 

Graph von f und Graph von f'

Graph der Funktion \(\,f\,\) und Graph der Ableitungsfunktion \(\,f'\,\)

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