Teilaufgabe 4

Lösung zu Teilaufgabe 4

 

Vorschau: Ableitungsfunktion \(f'\) skizzieren

 

Näherungswert für \(f'(0)\)

Die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) liefert den Näherungswert für \(f'(0)\,\).

 

Tangente \(t\) an \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\)

 

\[f'(0) = m_t = \frac{\Delta \, y}{\Delta \, x} \approx \frac{2{,}2}{1} = 2{,}2\]

 

Nullstelle von \(f'\)

 

Hochpunkt \(\,HoP\,\) von \(\,G_f\,\), Nullpunkt \(\,(x_{HoP}|0)\,\) von \(\,G_{f'}\,\)

 

Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x \approx 3{,}3\) einen Hochpunkt und somit eine waagrechte Tangente \(t\,\).

\[\Longrightarrow \quad f'(x_{HoP}) = m_t = 0\]

 

Verhalten von \(f'\) in der Umgebung der Nullstelle:

\(f\,\) steigt streng monoton für \(\,x < x_{HoP}\) \(\quad \Longrightarrow \quad f'(x) > 0\,\) für \(\,x < x_{HoP}\)

\(f\,\) fällt streng monoton für \(\,x > x_{HoP}\) \(\, \enspace \quad \Longrightarrow \quad f'(x) < 0\,\) für \(\,x > x_{HoP}\)

 

Verhalten von \(f'\) für \(x \to 5\)

 

Tangenten \(\,t\,\) an \(\,G_f\,\) für \(\,x \to 5\)

An der Stelle \(x = 4\) lässt sich die Steigung \(m_t\) der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) noch gut bestimmen.

 

\[f'(4) = m_t = \frac{\Delta\,y}{\Delta\,x} = \frac{-1}{1} = -1\]

 

Für \(x \to 5\) nimmt die Tangentensteigung \(m_t\) beliebig große negative Werte an, bis sie an der Stelle \(x = 5\) nicht mehr existiert. Der Graph von \(f\) steht im Punkt \((5|0)\) senkrecht zur \(x\)-Achse.

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,5^-} f'(x) = -\infty\]

 

Der Graph der Ableitugsfunktion \(f'\) nähert sich von links der senkrechten Asymptote mit der Gleichung \(x = 5\) an.

 

Zusammenfassung der Ergebnisse, Skizzieren von \(G_{f'}\)

 

\[f'(0) \approx 2{,}2\]

\[f'(3{,}3) = 0\]

\[\lim \limits_{x\,\to\,5^-} f'(x) = -\infty\]

 

Graph der Funktion \(\,f\,\) und Graph der Ableitungsfunktion \(\,f'\,\)