Teilaufgabe 1c
Lösung zu Teilaufgabe 1c
\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\]
Ableitung der Funktion \(f\) bestimmen:
\[\begin{align*}f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= \frac{2e^x \cdot (e^x + 9) - 2e^x \cdot e^x}{(e^x + 9)^2} \\[0.8em] &= \frac{2e^{2x} + 18e^x - 2e^{2x}}{(e^x + 9)^2} \\[0.8em] &= \frac{18\overbrace{e^x}^{>\,0}}{\underbrace{(e^x + 9)^2}_{>\,0}}\end{align*}\]
Monotoniekriterium anwenden:
\(\Longrightarrow \quad f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb R\)
\(\Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(\mathbb R\) streng monoton steigend.
