Teilaufgabe 1c

Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_f\) in \(\mathbb R\) streng monoton steigt.

(zur Kontrolle: \(f'(x)= \displaystyle \frac{18e^x}{(e^x + 9)^2}\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\]

Ableitung der Funktion \(f\) bestimmen:

\[\begin{align*}f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) &= \frac{2e^x \cdot (e^x + 9) - 2e^x \cdot e^x}{(e^x + 9)^2} \\[0.8em] &= \frac{2e^{2x} + 18e^x - 2e^{2x}}{(e^x + 9)^2} \\[0.8em] &= \frac{18\overbrace{e^x}^{>\,0}}{\underbrace{(e^x + 9)^2}_{>\,0}}\end{align*}\]

 

Monotoniekriterium anwenden:

 

\(\Longrightarrow \quad f'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb R\)

\(\Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(\mathbb R\) streng monoton steigend.

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