Teilaufgabe 1e

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die \(G_f\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = 4\) einschließt.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Flächeninhaltsberechnung durch Integration

 

Fläche, die der Graph von f mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = 4 einschließt

Fläche, die \(\,G_f\,\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(\,x = 4\,\) einschließt

 

Der Flächeninhalt \(A\) des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = 4\) einschließt, ist gleich dem Wert des bestimmten Integrals \(\int_{0}^{4} f(x)\,dx\,\).

 

\[A = \int_{0}^{4} f(x)\,dx\]

Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\) bestimmen:

 

\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9} = 2 \cdot \frac{e^x}{e^x + 9}\]

 

Die Quotientenfunktion \(f\) hat die Form \(\displaystyle 2 \cdot \frac{g'(x)}{g(x)}\,\) mit \(\,g(x) = e^x + 9\,\) und \(\,g'(x) = e^x\,\).

\[(e^x + 9)' = e^x\]

\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9} \quad \Longrightarrow \quad F(x) = 2 \cdot \ln(e^x + 9) + C\]

 

Flächeninhalt \(A\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A &= \int_{0}^{4} f(x)\,dx \\[0.8em] &= \big[ 2 \cdot \ln(e^x + 9) \big]_{0}^{4} \\[0.8em] &= 2 \cdot \ln\big(e^4 + 9\big) - \left( 2 \cdot \ln\big(e^0 + 9\big) \right) \\[0.8em] &= 2 \cdot \ln\bigg( \frac{e^4 + 9}{10} \bigg) \\[0.8em] &\approx 3{,}7 \end{align*}\]

 

Der Inhalt der Fläche, die \(G_f\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = 4\) einschließt, beträgt ca. 3,7 FE (Flächeneinheiten).

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