Teilaufgabe 2e

Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit.

Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft mithilfe einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\) beschreiben, die eine Funktionsgleichung der Form I, II, oder III mit \(k \in \mathbb R^+\) besitzt:

\[\textsf{I}\enspace y = \frac{2e^{x+k}}{e^{x+k}+9}\]

\[\textsf{II}\enspace y = k \cdot \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

\[\textsf{III}\enspace y = \frac{2e^{kx}}{e^{kx} + 9}\]

Dabei ist \(x\) die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten und \(y\) ein Näherungswert für die Höhe einer Blume in Metern.

Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von \(g\) infrage kommt.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2e

Das beschriebene Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto entspricht einer Stauchung (Streckungsfaktor: (\(0 < \frac{1}{k} < 1\)) der Wachstumsfunktion \(f\) von Sonnenblumen der Sorte Alba (siehe Teilaufgaben 2a,b,c) in Richtung der Zeitachse (\(x\)-Achse).

 

Ausschluss einer Gleichung der Form I

 

I\(\displaystyle \enspace y = \frac{2e^{x+k}}{e^{x+k}+9}\,; \quad k \in \mathbb R^+\)

Eine Gleichung der Form I verschiebt den Graphen der Funktion \(f\) um \(-k\) in \(x\)-Richtung. Daraus folgt:

 

- Keine gleiche Höhe der beiden Sorten zu Beobachtungsbeginn

- Keine erhöhte Wachstumsrate der Sorte Tramonto

 

Verschieben in \(x\)-Richtung - Gleichung der Form I

  • Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 1

    \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

    Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 1

    \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

  • Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 2

    \[k = 1{,}5 \, \colon \qquad y = \frac{2e^{x + 1{,}5}}{e^{x + 1{,}5} + 9}\]

    Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 2

    \[k = 1{,}5 \, \colon \qquad y = \frac{2e^{x + 1{,}5}}{e^{x + 1{,}5} + 9}\]

  • Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 3

    \[k = 3 \,\colon \qquad y = \frac{2e^{x + 3}}{e^{x + 3} + 9}\]

    Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 3

    \[k = 3 \,\colon \qquad y = \frac{2e^{x + 3}}{e^{x + 3} + 9}\]

  • Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 4

    \[k = 4 \,\colon \qquad y = \frac{2e^{x + 4}}{e^{x + 4} + 9}\]

    Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 4

    \[k = 4 \,\colon \qquad y = \frac{2e^{x + 4}}{e^{x + 4} + 9}\]

  • Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 1
  • Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 2
  • Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 3
  • Verschieben in x-Richtung - Gleichung der Form I - Grafik 4

 

Ausschluss einer Gleichung der Form II

II\(\displaystyle \enspace y = k \cdot \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad k \in \mathbb R^+\)

 

Eine Gleichung der Form II streckt den Graphen der Funktion \(f\) mit dem Streckungsfaktor \(k\) in \(y\)-Richtung. Daraus folgt:

 

- Keine gleiche Höhe der beiden Sorten zu Beobachtungsbeginn

- Verschiebung der waagrechten Asymptote \(y = 2\) nach \(y = 2k\)

 

Strecken in \(y\)-Richtung - Gleichung der Form II

  • Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 1

    \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

    Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 1

    \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

  • Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 2

    \[k = 1{,}5 \, \colon \qquad y = 1{,}5 \cdot \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

    Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 2

    \[k = 1{,}5 \, \colon \qquad y = 1{,}5 \cdot \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

  • Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 3

    \[k = 1{,}75 \, \colon \qquad y = 1{,}75 \cdot \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

    Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 3

    \[k = 1{,}75 \, \colon \qquad y = 1{,}75 \cdot \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

  • Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 4

    \[k = 2 \, \colon \qquad y = 2 \cdot \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

    Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 4

    \[k = 2 \, \colon \qquad y = 2 \cdot \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

  • Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 1
  • Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 2
  • Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 3
  • Strecken in y-Richtung - Gleichung der Form II - Grafik 4
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