Teilaufgabe 2f

Die Funktionsgleichung von \(g\) hat also die Form III. Geben Sie den passenden Wert von \(k\) an.

(1 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2f

 

III\(\displaystyle \enspace y = \frac{2e^{kx}}{e^{kx} + 9}\,; \quad k \in \mathbb R^+\)

Die Funktionsgleichung \(g\) der Form III beschreibt eine Stauchung des Graphen von \(f\) in \(x\)-Richtung mit dem Stauchungsfaktor \(k\) (Streckung mit Streckungsfaktor \(\frac{1}{k}\)).

Angabe 2e: "... so erreichen ... die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit."

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad g(x) &= f(2x) \\[0.8em] \frac{2e^{kx}}{e^{kx} + 9} &= \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 9} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad k = 2\]

 

Der Graphen der Funktionen g und f, Wendetangenten, Maximale Wachstumsraten

Die Wachstumsrate von Sonnenblumen der Sorte Tramonto (\(\,G_g\,\)) ist doppelt so hoch wie die Wachstumsrate von Sonnenblumen der Sorte Alba (\(\,G_f\,\)). Die Abbildung zeigt jeweils die maximale Wachstumsrate (Steigung der Tangente an die Funktion im Wendepunkt).

 

Stauchen in \(x\)-Richtung - Gleichung der Form III

  • Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 1

    \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

    Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 1

    \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\]

  • Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 2

    \[k = 2\,, \qquad y = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 9}\]

    Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 2

    \[k = 2\,, \qquad y = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 9}\]

  • Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 3

    \[k = 3\,, \qquad y = \frac{2e^{3x}}{e^{3x} + 9}\]

    Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 3

    \[k = 3\,, \qquad y = \frac{2e^{3x}}{e^{3x} + 9}\]

  • Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 4

    \[k = 4\,, \qquad y = \frac{2e^{4x}}{e^{4x} + 9}\]

    Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 4

    \[k = 4\,, \qquad y = \frac{2e^{4x}}{e^{4x} + 9}\]

  • Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 1
  • Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 2
  • Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 3
  • Stauchen in x-Richtung - Gleichung der Form III - Grafik 4
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