Mathematik Abitur Bayern 2012 Analysis II - Aufgaben mit Lösungen
Teilaufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\).
(3 BE)
Teilaufgabe 2a
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle g \colon x \mapsto x \cdot e^{-2x}\,\).
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente hat.
(5 BE)
Teilaufgabe 2b
Geben Sie das Verhalten von \(g\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) an.
(2 BE)
Teilaufgabe 3a
Betrachtet wird die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto -\ln x + 3\,\).
Geben Sie an, wie der Graph von \(h\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln x\) hervorgeht
(2 BE)
Teilaufgabe 3b
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\).
(4 BE)
Teilaufgabe 4b
Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.
(3 BE)
Teilaufgabe 1a
An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudi gestalteten Casa Battló in Barcelona findet man ein Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1).
Abb. 1
Der annähernd parabelförmige obere Rand des Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modellhaft dargestellt werden. Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des eingezeichneten Koordiantensystems die Punkte \(A\,(-2|0)\), \(B\,(2|0)\) und \(C\,(0|5)\) liegen (1 LE entspricht 1m, d.h. das Kunstwerk ist 5m hoch).
Ermitteln Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten quadratischen Funktion \(p\), deren Graph durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) verläuft.
(zur Kontrolle: \(p(x) = -1{,}25x^2 + 5\))
(3 BE)
Teilaufgabe 1b
Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(q\) vierten Grades mit \(q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_q\) bezeichnet.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_q\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft und genau einen Extrempunkt besitzt.
(7 BE)
Teilaufgabe 1c
Abbildung 2 zeigt die Graphen von \(p\) und \(q\).
Welcher der beiden dargestellten Graphen ist \(G_g\,\)? Begründen Sie Ihre Antwort.
