Mathematik Abitur Bayern 2012 Analysis II - Aufgaben mit Lösungen

Teilaufgabe 1

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^2 + 4x + 3}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Bestimmen Sie \(D\) sowie die Nullstelle vom \(f\,\).

(3 BE)

Teilaufgabe 2a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(\displaystyle g \colon x \mapsto x \cdot e^{-2x}\,\).

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente hat.

(5 BE)

Teilaufgabe 3a

Betrachtet wird die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto -\ln x + 3\,\).

Geben Sie an, wie der Graph von \(h\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \ln x\) hervorgeht

(2 BE)

Teilaufgabe 3b

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\).

(4 BE)

Teilaufgabe 4a

Warum hat jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle?

(1 BE)

Teilaufgabe 4b

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.

(3 BE)

Teilaufgabe 1a

An einer Wand im Innenhof der von Antoni Gaudi gestalteten Casa Battló in Barcelona findet man ein Keramikkunstwerk (vgl. Abbildung 1).

Abbildung 1Abb. 1

Der annähernd parabelförmige obere Rand des Kunstwerks soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion modellhaft dargestellt werden. Auf dem Graphen sollen bei Verwendung des eingezeichneten Koordiantensystems die Punkte \(A\,(-2|0)\), \(B\,(2|0)\) und \(C\,(0|5)\) liegen (1 LE entspricht 1m, d.h. das Kunstwerk ist 5m hoch).

Ermitteln Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten quadratischen Funktion \(p\), deren Graph durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) verläuft.

(zur Kontrolle: \(p(x) = -1{,}25x^2 + 5\))

(3 BE)

Teilaufgabe 1b

Ein den oberen Rand des Kunstwerks genauer darstellendes Modell liefert der Graph der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(q\) vierten Grades mit \(q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_q\) bezeichnet.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_q\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft und genau einen Extrempunkt besitzt.

(7 BE)

Teilaufgabe 1c

Abbildung 2 zeigt die Graphen von \(p\) und \(q\).

Welcher der beiden dargestellten Graphen ist \(G_g\,\)? Begründen Sie Ihre Antwort.

Abbildung 2: Graph von p, Graph von qAbb. 2

(2 BE)

Teilaufgabe 1d

Im Intervall \(]0;2[\) gibt es eine Stelle \(x_0\), an der der Wert der Differenz \(d(x) = q(x) - p(x)\) maximal wird. Berechnen Sie \(x_0\) sowie den Wert der zugehörigen Differenz.

(5 BE)

Teilaufgabe 1e

Berechnen Sie mithilfe der Funktion \(q\) einen Näherungswert für den Flächeninhalt \(A\) des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand.

(4 BE)

Teilaufgabe 1f

Die Gerade mit der Gleichung \(y = 1{,}1\) teilt im Modell den vom Kunstwerk eingenommenen Teil der Wand in zwei unterschiedlich gestaltete Bereiche. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Funktion \(q\) das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Bereiche näherungsweise bestimmen kann. Geben Sie dazu geeignete Ansätze an und kommentieren Sie diese.

(4 BE)

Teilaufgabe 2a

Unter dem Wasserdurchfluss eines Bachs an einer bestimmten Stelle versteht man das Volumen des Wassers, das an der Stelle in einer bestimmten Zeit vorbeifließt. Die Funktion \(f\) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Wasserdurchflusses eines Bachs an einer Messstelle, nachdem zum Zeitpunkt \(t = 0\) eine bachaufwärts gelegene Schleuse geöffnet wurde. Abbildung 3 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\,\).

Abbildung 3

Abb. 3

Entnehmen Sie Abbildung 3 im Bereich \(t > 1\) Näherungswerte für die Koordinaten des Hochpunkts sowie für die \(t\)-Koordinaten der beiden Wendepunkte von \(G_f\) und geben Sie unter Berücksichtigung dieser Näherungswerte die jeweilige Bedeutung der genannten Punkte im Sachzusammenhang an.

(5 BE)

Teilaufgabe 2b

Bestimmen Sie \(\displaystyle \int_1^4 f(t)\,dt\) näherungsweise mithilfe von Abbildung 3. Deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

(5 BE)

Teilaufgabe 2c

Bestimmen Sie mithilfe von \(G_f\) für \(t = 4\) und \(t = 3\) jeweils einen Näherungswert für die mittlere Änderungsrate von \(f\) im Zeitintervall \([2;t]\,\). Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 3 durch geeignete Steigungsdreiecke. Welche Bedeutung hat der Grenzwert der mittleren Änderungsraten für \(t \to 2\) im Sachzusammenhang?

(5 BE)