Teilaufgabe 2b

Geben Sie das Verhalten von \(g\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) an.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[g(x) = x \cdot e^{-2x}\,, \quad D_g = \mathbb R\]

 

Verhalten von \(g\) für \(x \to -\infty\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} g(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} \enspace \underset{\to \, -\infty }{x} \cdot \; \underbrace{e^{-2x}}_{\to \, +\infty} = -\infty\]

 

Verhalten von \(g\) für \(x \to +\infty\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} g(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \enspace \underset{\to \, +\infty}{x} \cdot \; \underbrace{e^{-2x}}_{\to \, 0}\]

 

Die Grenzwertbetrachtung führt auf den unbestimmten Ausdruck \(\,\infty \cdot 0\,\).

 

1. Lösungsansatz: Wichtiger Grenzwert (siehe Merkhilfe)

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} x \cdot e^{-2x} = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \frac{x}{e^{2x}} = 0\]

 

Für \(x \to + \infty\) wächst \(e^{2x}\) schneller als \(x\).

 

2. Lösungsansatz: Regel von L'Hospital anwenden

\[g(x) = x \cdot x^{-2x} = \frac{x}{e^{2x}}\]

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} g(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \; \frac{\overset{\to \, +\infty}{x}}{\underbrace{e^{2x}}_{\to \, +\infty}}\]

 

Der Grenzwert führt auf den unbestimmten Ausdruck \(\, \displaystyle \frac{\infty}{\infty}\,\).

 

Ableitung des Zählerterms und des Nennerterms bestimmen:

\[(x)' = 1\]

\[(e^{2x})' = 2 \cdot e^{2x}\]

 

Regel von L'Hospital anwenden:

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} g(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \; \frac{x}{e^{2x}} = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \; \frac{1}{2 \cdot \underbrace{e^{2x}}_{\to \, +\infty}} = 0\]

 

Anmerkung:

Die Regel von L'Hospital ist nicht im G8 Mathematik Lehrplan enthalten. Erfahrungsgemäß wird diese aber des Öfteren optional unterrichtet, um Grenzwertbetrachtungen von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) zu vertiefen.

 

Graph der Funktion g

Der Graph der Funktion \(\,g\,\) verläuft für \(\,x \to -\infty\,\) gegen \(\,-\infty\,\) und nähert sich für \(\,x \to +\infty\,\) asymptotisch der \(x\)-Achse an.

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