Teilaufgabe 3b

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\).

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\[h(x) = -\ln x + 3\,; \quad D_h = \mathbb R^+\]

\[P\,(1|h(1))\]

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[T\,\colon y = h'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + h(x_{0})\]

\[x_0 = 1\]

\[h(x_0) = h(1) = - \ln 1 + 3 = 3\]

 

Erste Ableitung \(h'\) bilden:

\[h(x) = -\ln x + 3 \quad \Longrightarrow \quad h'(x) = -\frac{1}{x}\]

 

\[h'(x_0) = h'(1) = -\frac{1}{1} = -1\]

 

\[\begin{align*} y &= h'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + h(x_{0}) \\[0.8em] &= (-1) \cdot (x - 1) + 3 \\[0.8em] &= -x + 4 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 4\]

 

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(1|h(1))\]

 

Tangentensteigung bestimmen:

\(\displaystyle h'(x) = -\frac{1}{x}\,\) (siehe oben)

 

\[m_{T} = h'(1) = -\frac{1}{1} = -1 \]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

 

\[T\,\colon\,y = -x + t\]

 

\[h(1) = -\ln 1 + 3 = 3 \quad \Longrightarrow \quad P\,(1|3)\]

 

\[\begin{align*} P \in T\,\colon\, & & 3 &= (-1) \cdot 1 + t \\[0.8em] & & 3 &= -1+ t & &| + 1 \\[0.8em] & & 4 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = -x + 4\]

 

Grapf von f, Tangente t im Punkt (1|3)

Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(h\) im Punkt \((1|3)\)

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3a Teilaufgabe 4a »