Teilaufgabe 1d

Im Intervall \(]0;2[\) gibt es eine Stelle \(x_0\), an der der Wert der Differenz \(d(x) = q(x) - p(x)\) maximal wird. Berechnen Sie \(x_0\) sowie den Wert der zugehörigen Differenz.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

\[p(x) = -1{,}25x^2 + 5\,; \quad D_p = \mathbb R\]

\[q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5 \,; \quad D_q = \mathbb R\]

 

Differenzfunktion bilden:

 

\[\begin{align*}d(x) &= g(x) - p(x) \\[0.8em] &= -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5 - \big( -1{,}25x^2 + 5 \big) \\[0.8em] &= -0{,}11x^4 + 0{,}44x^2 \end{align*}\]

 

Notwendige Bedingung für maximale Differenz: \(\,d^{\,\prime}(x) \overset{!}{=} 0\)

 

Erste Ableitung \(d^{\,\prime}(x)\) bilden:

\[\begin{align*}d(x) = -0{,}11x^4 +0{,}44x^2 \quad \Longrightarrow \quad d^{\,\prime}(x) &= -0{,}11 \cdot 4x^3 + 0{,}44 \cdot 2x \\[0.8em] &= -0{,}44x^3 + 0{,}88x \\[0.8em] &= -0{,}44x\big(x^2 - 2\big)\end{align*}\]

 

\(x_0\) berechnen:

 

\[-0{,}44x\big(x^2 - 2\big) = 0\,; \quad x \in \; ]0;2[\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad x^2 - 2 &= 0 & &| +2 \\[0.8em] x^2 &= 2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_0 &= \sqrt{2}\end{align*}\]

  

Art der Exxtremstelle untersuchen:

Zweite Ableitung \(d^{\,\prime\prime}(x)\) bilden:

\[\begin{align*}d^{\,\prime}(x) = -0{,}44^3 + 0{,}88x \quad \Longrightarrow \quad d^{\,\prime\prime}(x) &= 3 \cdot (-0{,}44) \cdot x^2 + 0{,}88 \\[0.8em] &= -1{,}32x^2 + 0{,}88 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}d^{\,\prime\prime}(\sqrt{2}) &= -1{,}32 \cdot (\sqrt{2})^2 + 0{,}88 \\[0.8em] &= -1{,}32 \cdot 2 + 0{,}88 \\[0.8em] &= -1{,}76\end{align*}\]

 

\(\left. \begin{align*} d^{\,\prime}(\sqrt{2}) &= 0 \\[0.8em] d^{\,\prime\prime}(\sqrt{2}) &< 0 \end{align*} \right\} \Longrightarrow \quad\) Die Differenz \(d\) ist an der Stelle \(x_0 = \sqrt{2}\) maximal.

 

Wert der maximalen Differenz berechnen:

 

\[\begin{align*} d(\sqrt{2}) & = -0{,}11 \cdot (\sqrt{2})^4 + 0{,}44 \cdot (\sqrt{2})^2 \\[0.8em] &= -0{,}11 \cdot 4 + 0{,}44 \cdot 2 \\[0.8em] &= 0{,}44\end{align*}\]

 

An der Stelle x₀ ≈ 1,41 ist der Wert der Differenz d(x) = q(x) - p(x) maximal.

An der Stelle \(\,x_0 = \sqrt{2}\,\) ist der Wert der Differenz \(\,d(x) = q(x) - p(x)\,\) maximal.

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