Teilaufgabe 1e

Berechnen Sie mithilfe der Funktion \(q\) einen Näherungswert für den Flächeninhalt \(A\) des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

 

Flächeninhalt A des Flächenstücks, das der Graph von q mit der x-Achse einschließt

Der Flächeninhalt \(\,A\,\) des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand entspricht näherungsweise dem Flächeninhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(\,q\,\) mit der \(\,x\)-Achse einschließt. Der Flächninhalt ist ein Näherungswert, weil die Funktion \(q\) den Rand des Kunstwerks nicht exakt beschreibt, sondern nur annähert (siehe Teilaufgabe 1b).

 

\[q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,; \quad D_q = \mathbb R\]

 

\[A = \int_{-2}^2 q(x)\,dx\]

Stammfunktion \(Q\) bestimmen:

\[\begin{align*} Q(x) &= -0{,}11 \cdot \frac{1}{5}x^5 - 0{,}81 \cdot \frac{1}{3}x^3 + 5x + C \\[0.8em] &= -0{,}022x^5 - 0{,}27x^3 + 5x + C \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(A\) berechnen:

 

\[\begin{align*}A &= \big[ -0{,}022x^5 - 0{,}27x^3 + 5x \, \big]_{-2}^2 \\[0.8em] &= -0{,}022 \cdot 2^5 - 0{,}27 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2 - \big( -0{,}022 \cdot (-2)^5 - 0{,}27 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2) \big) \\[0.8em] &\approx 14{,}3 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt \(A\) des vom Kunstwerk eingenommenen Teils der Wand beträgt näherungsweise 14,3 m².

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