Teilaufgabe a

Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck \(ABCD\) liegt in einer Ebene \(E\) und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar.

Abbildung 1: Modell eines DachzimmersAbb. 1

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E \colon x_2 + 2x_3 - 8 = 0\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Das Rechteck ABCD repräsentiert die Ebene E.

Das Rechteck \(\,ABCD\,\) repräsentiert die Ebene \(\,E\,\).

Richtungsvektoren der Ebene \(E\) bestimmen:

 

Z.B. sind \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AD}\) zwei linear unabhängige Richtungsvektoren der Ebene \(E\).

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} &= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & (-2) & - & 0 & \cdot & 4 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 3 & \cdot & (-2) \\ 3 & \cdot & 4 & - & 0 & \cdot & 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 12 \end{pmatrix} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

 

Es sei \(A\,(0|2|3)\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \colon \enspace \overrightarrow{n}_E \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow A \right) = 0 \\[0.8em] &E \colon \enspace \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

\[\begin {align*} \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_1 - 0) + 1 \cdot (x_2 - 2) + 2 \cdot (x_3 - 3) &= 0 \\[0.8em] x_2 + 2x_3 - 8 &= 0 \end {align*}\]

 

\[E \colon \enspace x_2 + 2x_3 - 8 = 0 \]

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