Teilaufgabe b

Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(R\) von der Ebene \(E\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

\[E \colon \enspace x_2 + 2x_3 - 8 = 0\,; \qquad R\,(3|0|0)\]

 

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Normalenvektor der Ebene \(E\,\): \(\enspace \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

 

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(E\,\):

\[\vert \overrightarrow{n}_E \vert = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]

 

\[E^{HNF}\colon \enspace \frac{x_2 + 2x_3 - 8}{\sqrt{5}} = 0\]

 

Abstand \(d\,(R; E)\) berechnen:

 

\[R\,(3|0|0)\]

 

\[\begin{align*}d\,(R, E) &= \left| \frac{r_2 + 2r_3 - 8}{\sqrt{5}} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{0 + 2 \cdot 0 - 8}{\sqrt{5}} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{-8}{\sqrt{5}} \right| = \frac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}58 \end{align*}\]

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