Teilaufgabe d

Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow v = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\) repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt \(G\) und schneidet die Seitenwand \(OPQR\) im Punkt \(S\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(S\) sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand \(OPQR\) einschließt.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Koordinaten des Schnittpunktes \(S\)

Es sei \(g\) die Gerade mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\) und dem Aufpunkt \(G\,(2|4|2)\).

 

\[g \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\,, \quad \mu \in \mathbb R\]

 

Die Seitenwand \(OPQR\) liegt in der \(x_1x_3\)-Ebene:

 

\[OPQR \subset x_1x_3\text{-Ebene}\,, \qquad x_1x_3\text{-Ebene}\, \colon \enspace x_2 = 0\]

 

Zur Berechnung des Schnittpunktes \(S\) setzt man die \(x_2\)-Koordinate des Ortsverktors \(\overrightarrow X\) aus der Geradengleichung von \(g\) in die Normalengleichung der \(x_1x_3\)-Ebene ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\mu\) auf.

 

\[\begin{align*} g \cap x_1x_3\text{-Ebene} \, \colon \enspace 4 - 8\mu &= 0 & &| +8\mu \\[0.8em] 4 &= 8\mu & &| : 8 \\[0.8em] \mu &= \frac{1}{2} \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\mu = \frac{1}{2}\) in \(g\) einsetzen:

 

\[S \in g \, \colon \enspace \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S\,(1|0|1{,}5)\]

 

Schnittwinkel der Gerade mit der Seitenwand \(OPQR\)

 

Schnittwinkel α zwischen der Geraden g und der Seitenwand OPQR

Das Lot des Punktes \(\,G\,\) auf die \(x_1x_3\)-Ebene legt den Lotfußpunkt \(\,F\,\) fest. Der Schnittwinkel \(\,\alpha\,\) ist definiert als der Winkel \(\,FSG\,\) im rechtwinkligen Dreieck \(\,GSF\,\).

Richtungsvektor der Geraden \(g\,\): \(\enspace \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Nornmalenvektor der \(x_1x_3\)-Ebene: \(\enspace \overrightarrow{n}_{x_1x_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

 

Schnittwinkel \(\alpha\) berechnen:

\[\begin{align*} \sin \alpha &= \frac{\vert \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{x_1x_3} \vert}{\vert \overrightarrow{v}^{\,*} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_1x_3} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert (-2) \cdot 0 + (-8) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \vert}{\sqrt{(-2)^2 + (-8)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} \\[0.8em] &= \frac{8}{\sqrt{69}} & &| \; \sin^{-1}(\dots) \\[1.6em] \alpha &\approx 74{,}4^{\circ} \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe c Teilaufgabe e »