Lösung zu Teilaufgabe d
Koordinaten des Schnittpunktes \(S\)
Lagebeziehung von Gerade und Ebene
Lagebeziehung von Gerade und Ebene
| \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in \mathbb R \enspace\) und \(\enspace E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{B}) = 0\) |
| \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} = 0 \enspace \Longleftrightarrow \enspace \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{n}_{E}\) |
\(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} \neq 0\) |
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\(A \in E\)
\(\Longrightarrow \enspace g \subset E\)
\(g\) liegt in der Ebene \(E\)
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\(A \notin E\)
\(\Longrightarrow \quad g \parallel E\)
\(g\) verläuft (echt) parallel zur Ebene \(E\) (ggf. Abstand berechnen).
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\(\Longrightarrow \enspace\)\(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Schnittpunkt \(S\) unter dem Schnittwinkel \(\alpha\) (ggf. Schnittpunkt und/oder Schnitwinkel berechnen).
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Es sei \(g\) die Gerade mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\) und dem Aufpunkt \(G\,(2|4|2)\).
\[g \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\,, \quad \mu \in \mathbb R\]
Die Seitenwand \(OPQR\) liegt in der \(x_1x_3\)-Ebene:
\[OPQR \subset x_1x_3\text{-Ebene}\,, \qquad x_1x_3\text{-Ebene}\, \colon \enspace x_2 = 0\]
Zur Berechnung des Schnittpunktes \(S\) setzt man die \(x_2\)-Koordinate des Ortsverktors \(\overrightarrow X\) aus der Geradengleichung von \(g\) in die Normalengleichung der \(x_1x_3\)-Ebene ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\mu\) auf.
\[\begin{align*} g \cap x_1x_3\text{-Ebene} \, \colon \enspace 4 - 8\mu &= 0 & &| +8\mu \\[0.8em] 4 &= 8\mu & &| : 8 \\[0.8em] \mu &= \frac{1}{2} \end{align*}\]
Parameterwert \(\mu = \frac{1}{2}\) in \(g\) einsetzen:
\[S \in g \, \colon \enspace \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S\,(1|0|1{,}5)\]
Schnittwinkel der Gerade mit der Seitenwand \(OPQR\)
Das Lot des Punktes \(\,G\,\) auf die \(x_1x_3\)-Ebene legt den Lotfußpunkt \(\,F\,\) fest. Der Schnittwinkel \(\,\alpha\,\) ist definiert als der Winkel \(\,FSG\,\) im rechtwinkligen Dreieck \(\,GSF\,\).
Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zwischen Gerade und Ebene
Für \(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}\) und \(0^{\circ} \leq \beta \leq 90^{\circ}\) gilt:
\[\begin{align*} \cos \beta &= \frac{\vert \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \beta = \cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &= 90^{\circ} - \beta \end{align*}\]
\[\sin \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} \vert}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \cos^{-1}(\dots)\]
Richtungsvektor der Geraden \(g\,\): \(\enspace \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\)
Nornmalenvektor der \(x_1x_3\)-Ebene: \(\enspace \overrightarrow{n}_{x_1x_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Schnittwinkel \(\alpha\) berechnen:
Betrag eines Vektors
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
Skalarprodukt
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin{align*} \sin \alpha &= \frac{\vert \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{x_1x_3} \vert}{\vert \overrightarrow{v}^{\,*} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_1x_3} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert (-2) \cdot 0 + (-8) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \vert}{\sqrt{(-2)^2 + (-8)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} \\[0.8em] &= \frac{8}{\sqrt{69}} & &| \; \sin^{-1}(\dots) \\[1.6em] \alpha &\approx 74{,}4^{\circ} \end{align*}\]
