Lösung zu Teilaufgabe f
Breite \(b\) des Möbelstücks
Abmessen der Höhe in Abbildung 2 liefert:
\[12\;\text{mm} \mathrel{\widehat{=}} 40\;\text{cm}\]
Die Breite misst in Abbildung 2 ca. 78 mm.
Dreisatz anwenden:
\[b = \frac{78\;\text{mm}}{12\;\text{mm}} \cdot 40\;\text{cm} = 260\;\text{cm} = 2{,}6\;\text{m}\]
Tiefe \(t\) des Möbelstücks
Die Tiefe \(t\) des Möbelstücks ist gleich dem Abstand der Geraden \(k\) von der Ebene \(W\), in der die Wand unter dem Fenster liegt.
\[k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]
\[t = d\,(k;W)\]
Gleichung der Ebenen \(W\,\):
\[\left. \begin{align*} &W \parallel x_1x_3\text{-Ebene} \\[0.8em] &C\,(3|6|1) \in W \end{align*} \right\} \Longrightarrow \quad W \colon \enspace x_2 = 6 \quad \Longleftrightarrow \quad x_2 - 6 = 0\]
oder:
\[W \perp x_2\text{-Achse} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[C\,(3|6|1) \in W\]
Ebenengleichung in Normalenform
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:
\[\begin {align*} &W \colon \enspace \overrightarrow{n}_W \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow C \right) = 0 \\[0.8em] &W \colon \; \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]
Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:
Skalarprodukt
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
\[\begin{align*} \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_1 - 3) + 1 \cdot (x_2 - 6) + 0 \cdot (x_3 - 1) &= 0 \\[0.8em] x_2 - 6 &= 0 \end{align*}\]
\[W \colon \enspace x_2 - 6 = 0 \]
Nachweis, dass gilt \(k \parallel W\,\):
Lagebeziehung von Gerade und Ebene
Lagebeziehung von Gerade und Ebene
| \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in \mathbb R \enspace\) und \(\enspace E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{B}) = 0\) |
| \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} = 0 \enspace \Longleftrightarrow \enspace \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{n}_{E}\) | \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{E} \neq 0\) |
\(A \in E\) \(\Longrightarrow \enspace g \subset E\) \(g\) liegt in der Ebene \(E\) | \(A \notin E\) \(\Longrightarrow \quad g \parallel E\) \(g\) verläuft (echt) parallel zur Ebene \(E\) (ggf. Abstand berechnen). | \(\Longrightarrow \enspace\)\(g\) schneidet die Ebene \(E\) im Schnittpunkt \(S\) unter dem Schnittwinkel \(\alpha\) (ggf. Schnittpunkt und/oder Schnitwinkel berechnen). |
Richtungsvektor der Geraden \(k\,\): \(\;\overrightarrow{u}_k = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Normalenvektor der Ebene \(W\,\): \(\;\overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Skalarprodukt - Orthogonale Vektoren
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}, \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\[\overrightarrow{u}_k \circ \overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_k \perp \overrightarrow{n}_W \quad \Longrightarrow \quad k \parallel W\]
Abstand der Geraden \(k\) von der Ebenen \(W\) bestimmen:
Wegen \(k \parallel W\,\) ist der Abstand \(d\,(k;W)\) der Geraden \(k\) zur Ebene \(W\) gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes auf der Geraden \(k\) zur Ebene \(W\,\).
Abstand Punkt - Ebene
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt:
Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace (\text{HNF})\]
\[d(P;E) = \left| \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A}) \right|\]
Koordinatendarstellung
\[E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0 \enspace (\text{HNF})\]
\[d(P;E) = \left| \frac{n_{1}p_{1} + n_{2}p_{2} + n_{3}p_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} \right|\]
Dabei ist \(\overrightarrow{n}^{0}_{E} = \dfrac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert}\) der Einheitsvektor des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).
Betrag des Normalenvektors der Ebene \(W\,\):
\(\vert \overrightarrow{n}_W \vert = 1\,\), da \(\,\overrightarrow{n}_W\,\) Einheitsvektor ist.
\[W^{HNF} \colon \enspace x_2 - 6 = 0 \]
\[(0|5{,}5|0{,}4) \in k\]
\[d\,(k;W) = \vert 5{,}5 - 6 \vert = 0{,}5 \quad \Longrightarrow \quad t = 0{,}5\]
Das Möbelstück hat die Tiefe \(t = 50\;\text{cm}\,\).
