Teilaufgabe f

Lösung zu Teilaufgabe f

Breite \(b\) des Möbelstücks

Abmessen der Höhe in Abbildung 2 liefert:

\[12\;\text{mm} \mathrel{\widehat{=}} 40\;\text{cm}\]

Die Breite misst in Abbildung 2 ca. 78 mm.

Dreisatz anwenden:

\[b = \frac{78\;\text{mm}}{12\;\text{mm}} \cdot 40\;\text{cm} = 260\;\text{cm} = 2{,}6\;\text{m}\]

Tiefe \(t\) des Möbelstücks

Die Tiefe \(t\) des Möbelstücks ist gleich dem Abstand der Geraden \(k\) von der Ebene \(W\), in der die Wand unter dem Fenster liegt.

\[k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

\[t = d\,(k;W)\]

Gleichung der Ebenen \(W\,\):

\[\left. \begin{align*} &W \parallel x_1x_3\text{-Ebene} \\[0.8em] &C\,(3|6|1) \in W \end{align*} \right\} \Longrightarrow \quad W \colon \enspace x_2 = 6 \quad \Longleftrightarrow \quad x_2 - 6 = 0\]

oder:

\[W \perp x_2\text{-Achse} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[C\,(3|6|1) \in W\]

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

\[\begin {align*} &W \colon \enspace \overrightarrow{n}_W \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow C \right) = 0 \\[0.8em] &W \colon \; \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

\[\begin{align*} \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_1 - 3) + 1 \cdot (x_2 - 6) + 0 \cdot (x_3 - 1) &= 0 \\[0.8em] x_2 - 6 &= 0 \end{align*}\]

\[W \colon \enspace x_2 - 6 = 0 \]

Nachweis, dass gilt \(k \parallel W\,\):

Richtungsvektor der Geraden \(k\,\): \(\;\overrightarrow{u}_k = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Normalenvektor der Ebene \(W\,\): \(\;\overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\[\overrightarrow{u}_k \circ \overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_k \perp \overrightarrow{n}_W \quad \Longrightarrow \quad k \parallel W\]

Abstand der Geraden \(k\) von der Ebenen \(W\) bestimmen:

Wegen \(k \parallel W\,\) ist der Abstand \(d\,(k;W)\) der Geraden \(k\) zur Ebene \(W\) gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes auf der Geraden \(k\) zur Ebene \(W\,\).

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(W\,\):

\(\vert \overrightarrow{n}_W \vert = 1\,\), da \(\,\overrightarrow{n}_W\,\) Einheitsvektor ist.

\[W^{HNF} \colon \enspace x_2 - 6 = 0 \]

\[(0|5{,}5|0{,}4) \in k\]

\[d\,(k;W) = \vert 5{,}5 - 6 \vert = 0{,}5 \quad \Longrightarrow \quad t = 0{,}5\]

Das Möbelstück hat die Tiefe \(t = 50\;\text{cm}\,\).