Teilaufgabe f

Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine vordere Oberkante liegt im Modell auf der Geraden \(k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\,\).

Abbildung 2: quaderförmiges MöbelstückAbb. 2

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite \(b\) des Möbelstücks möglichst genau.

Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden \(k\) die Tiefe \(t\) des Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe f

 

Breite \(b\) des Möbelstücks

 

Abmessen der Höhe in Abbildung 2 liefert:

 

\[12\;\text{mm} \mathrel{\widehat{=}} 40\;\text{cm}\]

 

Die Breite misst in Abbildung 2 ca. 78 mm.

 

Dreisatz anwenden:

  

\[b = \frac{78\;\text{mm}}{12\;\text{mm}} \cdot 40\;\text{cm} = 260\;\text{cm} = 2{,}6\;\text{m}\]

 

Tiefe \(t\) des Möbelstücks

 

  • Tiefe t des Möbelstücks - Grafik 1
    Tiefe t des Möbelstücks - Grafik 1
  • Tiefe t des Möbelstücks - Grafik 2
    Tiefe t des Möbelstücks - Grafik 2
  • Tiefe t des Möbelstücks - Grafik 1
  • Tiefe t des Möbelstücks - Grafik 2

Die Tiefe \(t\) des Möbelstücks ist gleich dem Abstand der Geraden \(k\) von der Ebene \(W\), in der die Wand unter dem Fenster liegt.

 

\[k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

 

\[t = d\,(k;W)\]

 

Gleichung der Ebenen \(W\,\):

 

\[\left. \begin{align*} &W \parallel x_1x_3\text{-Ebene} \\[0.8em] &C\,(3|6|1) \in W \end{align*} \right\} \Longrightarrow \quad W \colon \enspace x_2 = 6 \quad \Longleftrightarrow \quad x_2 - 6 = 0\]

 

oder:

\[W \perp x_2\text{-Achse} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[C\,(3|6|1) \in W\]

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

 

\[\begin {align*} &W \colon \enspace \overrightarrow{n}_W \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow C \right) = 0 \\[0.8em] &W \colon \; \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

\[\begin{align*} \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_1 - 3) + 1 \cdot (x_2 - 6) + 0 \cdot (x_3 - 1) &= 0 \\[0.8em] x_2 - 6 &= 0 \end{align*}\]

 

\[W \colon \enspace x_2 - 6 = 0 \]

 

Nachweis, dass gilt \(k \parallel W\,\):

Richtungsvektor der Geraden \(k\,\): \(\;\overrightarrow{u}_k = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Normalenvektor der Ebene \(W\,\): \(\;\overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\[\overrightarrow{u}_k \circ \overrightarrow{n}_W = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_k \perp \overrightarrow{n}_W \quad \Longrightarrow \quad k \parallel W\]

 

Abstand der Geraden \(k\) von der Ebenen \(W\) bestimmen:

 

Wegen \(k \parallel W\,\) ist der Abstand \(d\,(k;W)\) der Geraden \(k\) zur Ebene \(W\) gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes auf der Geraden \(k\) zur Ebene \(W\,\).

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(W\,\):

 

\(\vert \overrightarrow{n}_W \vert = 1\,\), da \(\,\overrightarrow{n}_W\,\) Einheitsvektor ist.

 

\[W^{HNF} \colon \enspace x_2 - 6 = 0 \]

 

\[(0|5{,}5|0{,}4) \in k\]

 

\[d\,(k;W) = \vert 5{,}5 - 6 \vert = 0{,}5 \quad \Longrightarrow \quad t = 0{,}5\]

 

Das Möbelstück hat die Tiefe \(t = 50\;\text{cm}\,\).

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