Teilaufgabe g

Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe g

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

4. Lösungsansatz: Betrachtung einer Projektion in die \(x_2x_3\)-Ebene

 

Kritische Stellung des Fensters senkrecht zur vorderen Oberkante des Möbelstücks

Damit das Fenster bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstößt, muss die Länge der Strecke \(\,[MH]\,\) kleiner sein als der Abstand \(\,d\,(M;k)\,\) des Punktes \(\,M\,\) von der Geraden \(\,k\,\).

 

Abstand eines Punktes von einer Geraden

 

\[M\,(2|5|1{,}5)\,, \qquad k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

 

1. Lösungsansatz mit Hilfsebene

Hilfsebene \(Z\) mit den Eigenschaften \(M \in Z\) und \(Z \perp k\) bestimmen:

 

\[\overrightarrow{n}_Z = \overrightarrow{u}_k = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[Z \, \colon \enspace \overrightarrow {n}_Z \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow M \right) = 0\]

\[Z \, \colon \; \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end {pmatrix} \right] = 0\]

 

Lage der Hilfsebene \(Z\)

  • Lage der Hilfsebene Z - Grafik 1
    Lage der Hilfsebene Z - Grafik 1
  • Lage der Hilfsebene Z - Grafik 2
    Lage der Hilfsebene Z - Grafik 2
  • Lage der Hilfsebene Z - Grafik 1
  • Lage der Hilfsebene Z - Grafik 2

Schnittpunkt \(S_k\) der Geraden \(k\) mit der Hilfsebene \(Z\) ermitteln:

Zur Berechnung des Schnitpunktes \(S_k\) setzt man den Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) aus der Geradengleichung von \(k\) in die Normalengleichung der Hilfsebene \(Z\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(\lambda\) auf.

 

\[k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[Z \, \colon \; \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow X - \begin {pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end {pmatrix} \right] = 0\]

\[\begin{align*} k \cap Z \, \colon \enspace \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin {pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 0{,}5 \\ -1{,}1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 1 \cdot (-2 + \lambda) + 0 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot -1{,}1 &= 0 \\[0.8em] -2 + \lambda &= 0 & &| + 2 \\[0.8em] \lambda &= 2 \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = 2\) in \(k\) einsetzen:

 

\[S_k \in k \, \colon \enspace \overrightarrow{S}_k = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([MS_k]\) berechnen:

\[\begin{align*} \overline{MS_k} &= \vert \overrightarrow{MS_k} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{S}_k - \overrightarrow{M} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ -1{,}1 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 0{,}5^2 + 1{,}1^2} \\[0.8em] &= \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(M;k) = d\,(M;S_k) \approx 1{,}21 \]

 

\(\displaystyle \overline{MH}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \approx 1{,}12\;\) (siehe Teilaufgabe e)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{MH} < d\,(M;k)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Das Fenster kann bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstoßen.

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

 

\[M\,(2|5|1{,}5)\,, \qquad k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

Lotfußpunkt F des Lotes des Punktes M auf die Gerade k

Es sei \(\,F\,\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(\,M\,\) auf die Gerade \(\,k\,\). Der Richtungsvektur \(\,\overrightarrow{u}_k\,\) der Geraden \(\,k\,\) und er Vektor \(\,\overrightarrow{FM}\,\) stehen senkrecht zueinander.

Somit gilt: \(\enspace \overrightarrow{FM} \perp \overrightarrow{u}_k \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{FM} \circ \overrightarrow{u}_k = 0\)

 

Vektor \(\overrightarrow{FM}\) allgemein beschreiben:

 

\[F \in k\,\colon \enspace \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} \lambda \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{FM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \lambda \\ -0{,}5 \\ 1{,}1 \end{pmatrix}\]

 

Koordinaten des Lotfußpunktes \(F\) bestimmen:

\[\begin{align*} \overrightarrow{FM} \circ \overrightarrow{u}_k &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 2 - \lambda \\ -0{,}5 \\ 1{,}1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (2 - \lambda) \cdot 1 + (-0{,}5) \cdot 0 + 1{,}1 \cdot 0 &= 0 \\[0.8em] 2 - \lambda &= 0 & &| + \lambda \\[0.8em] \lambda &= 2 \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = 2\) in \(k\) einsetzen:

 

\[F \in k\,\colon \enspace \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} \]

 

Länge der Strecke \([MF]\) berechnen:

\[\begin{align*} \overline{MF} &= \vert \overrightarrow{MF} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{F} - \overrightarrow{M} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0{,}5 \\ -1{,}1 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 0{,}5^2 + 1{,}1^2} \\[0.8em] &= \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad d\,(M;k) = d\,(M;F) \approx 1{,}21 \]

 

\(\displaystyle \overline{MH}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \approx 1{,}12\;\) (siehe Teilaufgabe e)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{MH} < d\,(M;k)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Das Fenster kann bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstoßen.

 

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

 

\[M\,(2|5|1{,}5)\,, \qquad k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

Länge der Strecke zwischen dem Punkt M und einem beliebigen Punkt X ∈ k in Abhängigkeit des Parameterwertes λ der Geradengleichung von k

Die Länge der Strecke \(\,[MX]\,\) zwischen dem Punkt \(\,M\,\) und einem beliebigen Punkt \(\,X \in k\,\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameterwertes \(\,\lambda\,\) der Geradengleichung von \(\,k\,\) beschreiben.

 

Länge der Strecke \([MX]\) in Abhängigkeit von \(\lambda\,\):

\[\overline{MX} = \vert \overrightarrow{X} - \overrightarrow{M} \vert\]

\[\begin{align*} \overline{MX}(\lambda) &= \left| \begin{pmatrix} \lambda \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} \lambda - 2 \\ 0{,}5 \\ -1{,}1 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(\lambda - 2)^2 + 0{,}5^2 + (-1{,}1)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 4 + 0{,}25 + 1{,}21} \\[0.8em] &= \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda +5{,}46} \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda_{min}\) für minimale Länge bestimmen:

 

\(\overline{MX}(\lambda)\) ist minimal, wenn der Wert des Radikanden minimal ist.

\[\big( \lambda^2 - 4\lambda + 5{,}46 \big)' \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung des Radikanden bilden:

\[\big( \lambda^2 - 4\lambda + 5{,}46 \big)' = 2\lambda - 4\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 2\lambda - 4 &= 0 & &| + 4 \\[0.8em] 2\lambda &= 4 & &| : 2 \\[0.8em] \lambda &= 2 \end{align*}\]

 

Art der Extremstelle:

 

\[\big( \lambda^2 - 4\lambda +5{,}46 \big)'' = (2\lambda - 4)' = 2\]

\[\Longrightarrow \quad \big( \lambda^2 - 4\lambda +5{,}46 \big)'' > 0 \]

 

\(\Longrightarrow \quad \overline{MX}(\lambda)\) ist für \(\lambda_{min} = 2\) minimal.

 

Minimale Länge berechnen:

 

\[d\,(M;k) = \overline{MX}(\lambda_{min}) = \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 + 5{,}46} = \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21\]

 

\(\displaystyle \overline{MH}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \approx 1{,}12\;\) (siehe Teilaufgabe e)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{MH} < d\,(M;k)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Das Fenster kann bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstoßen.

 

4. Lösungsansatz: Betrachtung einer Projektion in die \(x_2x_3\)-Ebene

 

\[M\,(2|5|1{,}5)\,, \qquad k \, \colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,, \quad \lambda \in \mathbb R\]

 

Projektion in die x₂x₃-Ebene

 

Der Aufpunkt \((0|5{,}5|0{,}4)\) der Geraden \(k\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene.

 

Es sei \(M'\) die Projektion des Punktes \(M\) in die \(x_2x_3\)-Ebene.

\[\Longrightarrow \quad M'\,(0|5|1{,}5)\]

\[\begin{align*}d\,(M;k) &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -0{,}5 \\ 1{,}1 \end{pmatrix}\right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + (-0{,}5)^2 + 1{,}1^2} \\[0.8em] &= \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21 \end{align*}\]

 

\(\displaystyle \overline{MH}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \approx 1{,}12\;\) (siehe Teilaufgabe e)

 

\[\Longrightarrow \quad \overline{MH} < d\,(M;k)\]

\(\Longrightarrow \quad\) Das Fenster kann bei seiner Drehung nicht am Möbelstück anstoßen.

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