Teilaufgabe a

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(10|2|0)\), \(B\,(10|8|0)\), \(C\,(10|4|3)\), \(R\,(2|2|0)\), \(S\,(2|8|0)\) und \(T\,(2|4|3)\) gegeben. Der Körper \(ABCRST\) ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grungfläche \(ABC\), der Deckfläche \(RST\) und rechteckigen Seitenflächen.

Zeichen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Grundfläche \(ABC\,\)? Berechnen Sie das Volumen des Prismas.
Abbildung: Koordinatensystem

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe a

 

Zeichnung des Prismas \(ABCRST\)

 

Gerades dreiseitiges Prisma ABCRST mit der Grundfläche ABC

Gerades dreiseitiges Prisma \(ABCRST\) mit der Grundfläche \(ABC\)

 

\(A\,(10|2|0)\,\), \(B\,(10|8|0)\,\), \(C\,(10|4|3)\,\), \(R\,(2|2|0)\,\), \(S\,(2|8|0)\,\), \(T\,(2|4|3)\)

 

Besondere Lage der Grundfläche \(ABC\)

Es gilt: \(\enspace x_{1_A} = \,x_{1_B} = \,x_{1_C} = 10\,\).

 

Somit liegt die Grundfläche \(ABC\) im Abstand \(d = 10\) in der zur \(x_2x_3\)-Ebene parallelen Ebene mit der Gleichung \(x_1 - 10 = 0\,\).

 

Ebene der Grundfläche ABC des Prismas parallel zur x₂x₃-Ebene

Die Grundfläche \(ABC\) repräsentiert ein Ebene, die parrallel zur \(x_2x_3\)-Ebene ist.

 

Volumen des Prismas \(ABCRST\)

 

Gerades Prisma ABCRST

Gerades Prisma \(ABCRST\)

 

1. Lösungsansatz: Grundfläche mal Höhe

\[V_{ABCRST} = A_{ABC} \cdot h\]

 

Höhe \(h\) des Geraden Prismas berechnen:

 

\[h = \overline{AR} = \overline{BS} = \overline{CT}\]

\[\begin{align*}h &= \vert \overrightarrow{AR} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{R} - \overrightarrow{A} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right| \\[0.8em] &= \sqrt{(-8)^2 + 0^2 + 0^2} = 8 \end{align*}\]

 

Flächeninhalt der Grundfläche \(ABC\) berechnen:

 

Betrachtet wird eine Projektion der Grundfläche \(ABC\) in die \(x_2x_3\)-Ebene.

 

Projektion der Grundfläche ABC in die x₂x₃-Ebene

Projektion der Grundfläche \(ABC\) in die \(x_2x_3\)-Ebene

 

\(A'\,(0|2|0)\,\), \(B'\,(0|8|0)\,\), \(C'\,(0|4|3)\)

 

\[\begin{align*}A_{ABC} &= A_{A'B'C'} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (x_{2_{B'}} - x_{2_{A'}}) \cdot x_{3_{C'}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (8 - 2) \cdot 3 \\[0.8em] &= 9 \end{align*}\]

 

Volumen des Prismas berechnen:

 

\[V_{ABCRST} = A_{ABC} \cdot h = 9 \cdot 8 = 72\]

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodukts - Spatprodukt

 

Drei linear unabhängige Vektoren spannen einen Spat auf

Drei linear unabhängigen Vektoren, z.B. \(\,\overrightarrow{AB}\,\), \(\,\overrightarrow{AC}\,\) und \(\,\overrightarrow{AR}\,\), spannen einen Spat auf. Das Volumen des geraden Prismas \(\,ABCRST\,\) ist gleich dem halben Spatvolumen.

\[V_{ABCRST} = \frac{1}{2} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right) \circ \overrightarrow{AR} \; \right|\]

 

Linear unabhängige Vektoren bestimmen:

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{R} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

Volumen des Prismas berechnen:

\[\begin {align*} V_{ABCRST} &= \frac{1}{2} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right) \circ \overrightarrow{AR}\;\right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \left[ \begin {pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end {pmatrix} \right] \circ \begin {pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin {pmatrix} 6 & \cdot & 3 & - & 0 & \cdot & 2 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & 3 \\ 0 & \cdot & 2 & - & 6 & \cdot & 0 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin {pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| 18 \cdot (-8) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \right| \\[0.8em] &= 72 \end {align*}\]

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