Teilaufgabe c

Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenkanten \([CA]\) und \([CB]\) einschließen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe c

 

Spitzer Winkel φ, den die Seitenkanten [CA] und [CB] einschließen

 

Es sei \(\varphi\) das Maß des spitzen Winkels, den die Seitenkanten \([CA]\) und \([CB]\) einschließen.

\[\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\]

 

Größe des Winkels \(\varphi\) berechnen:

\[\begin{align*} \cos \varphi &= \frac{\overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB}}{\vert \overrightarrow{CA} \vert \cdot \vert \overrightarrow{CB} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{0 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + (-3) \cdot (-3)}{\sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{25}} = \frac{1}{5\sqrt{13}} & &| \; \cos^{-1}(\dots) \\[1.6em] \varphi &\approx 86{,}8^{\circ} \end{align*}\]

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