Teilaufgabe d

Die Ebene \(F\) enthält die Gerade \(CT\) und zerlegt das Prisma in zwei volumengleiche Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt \(P\) so, dass er gemeinsam mit den Punkten \(C\) und \(T\) die Ebene \(F\) festlegt; begründen Sie Ihre Wahl. Tragen Sie die Schnittfigur von \(F\) mit dem Prisma in Ihre Zeichnung ein.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Wahl des Punktes \(P\) mit Begründung

 

Die Ebene \(F\) schneidet die Seitenkanten \([AB]\) und \([RS]\,\). Die entstehenden Teilkörper sind zwei Prismen gleicher Höhe \(h = \overline{CT}\,\). Folglich sind die Volumina der beiden Prismen gleich groß, wenn deren Grundflächen gleich groß sind.

Die Ebene \(F\) teilt die Grundfläche \(ABC\) (bzw. die Deckfläche \(RST\,\)) des Prismas \(ABCRST\) dann in zwei flächengleiche Dreiecke, wenn sie die Seitenhalbierende \([CM_{AB}]\) des Dreiecks \(ABC\,\) (bzw. \([TM_{RS}]\) des Dreiecks \(RST\,\)) enthält.

Betrachtung der Grundfläche \(ABC\,\):

 

Grundfläche ABC, Teilung in zwei flächengleiche Dreiecke

Die Seitenhalbierende \(\,[CM_{AB}]\,\) teilt die Grundfläche \(\,ABC\,\) in die beiden flächengleichen Dreiecke \(\,AM_{AB}C\,\) und \(\,M_{AB}BC\,\).

 

\[\left. \begin{align*} A_{AM_{AB}C} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{AM_{AB}} \cdot h_C \\[0.8em] A_{M_{AB}BC} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{M_{AB}B} \cdot h_C \\[0.8em] \overline{AM_{AB}} &= \overline{M_{AB}B} \end{align*} \right\} \Longrightarrow \quad A_{AM_{AB}C} = A_{M_{AB}BC} \]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Der Punkt \(P\) ist Mittelpunkt der Strecke \([AB]\) (bzw. der Strecke \([RS]\,\)).

\[\begin{align*}\overrightarrow{P} &= \overrightarrow{M}_{AB} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad P\,(10|5|0) \end{align*}\]

 

Ebene \(F\) und Schnittfigur

  • Ebene F und Schnittfigur - Grafik 1
    Ebene F und Schnittfigur - Grafik 1
  • Ebene F und Schnittfigur - Grafik 2
    Ebene F und Schnittfigur - Grafik 2
  • Ebene F und Schnittfigur - Grafik 1
  • Ebene F und Schnittfigur - Grafik 2

 

Einzeichnen der Schnittfigur von \(F\) mit dem Prisma

 

Schnittfigur der Ebene F mit dem Prisma ABCRST

Schnittfigur der Ebene \(\,F\,\) mit dem Prisma \(\,ABCRST\,\)

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