Teilaufgabe 1

Für eine Quizshow sucht ein Fernsehsender Abiturientinnen und Abiturienten als Kandidaten. Jeder Bewerber gibt in einem online auszufüllenden Formular die Duchschnittsnote seines Abiturzeugnisses an.

Insgesamt bewerben sich dreimal so viele weibliche wie männliche Personen, wobei 80 % der weiblichen und 75 % der männlichen Bewerber eine Durchschnittsnote von 1,5 oder besser angeben. Bestimmen Sie den Anteil der Personen unter allen Bewerbern, die eine schlechtere Durchschnittsnote als 1,5 angeben.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

Ereignisse festlegen:

 

\(W\,\): weiblicher Bewerber

\(M\,\): männlicher Bewerber

 

\(D\,\): Berwerber gibt Duchschnittsnote 1,5 oder besser an

\(\overline{D}\,\): Bewerber gibt schlechtere Duchschnittsnote als 1,5 an

 

Analyse der Angabe:

 

"... bewerben sich dreimal so viele weibliche wie männliche Personen, ..."

\[\Longrightarrow \quad \vert W \vert = 3 \cdot \vert M \vert\]

 

"... wobei 80 % der weiblichen ... Bewerber eine Durchschnittsnote von 1,5 oder besser angeben."

\[\Longrightarrow \quad P_W(D) = 0{,}8\]

"... wobei 75 % der männlichen Bewerber eine Durchschnittsnote von 1,5 oder besser angeben."

\[\Longrightarrow \quad P_M(D) = 0{,}75\]

 

1. Lösungsansatz: Baumdiagramm

 

Baumdiagramm zu Teilaufgabe 1 Stochastik I Mathematik Abitur 2012 Bayern

Anwenden der Knotenregel:

 

\[\left. \begin{align*} \vert W \vert = 3 \cdot \vert M \vert \\[0.8em] P(W) + P(M) = 1 \end{align*} \right\} \Longrightarrow \quad P(W) = 0{,}75\,; \enspace P(M) = 0{,}25\]

 

\[\begin{align*} P_W(D) + P_W(\overline{D}) &= 1 \\[0.8em] P_W(\overline{D}) &= 1 - P_W(D) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} P_M(D) + P_M(\overline{D}) &= 1 \\[0.8em] P_M(\overline{D}) &= 1 - P_M(D) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25 \end{align*}\]

 

Anwenden der 1. Pfadregel:

 

\[\begin{align*} P(W \cap \overline{D}) &= P(W) \cdot P_W(\overline{D}) \\[0.8em] &= 0{,}75 \cdot 0{,}2 \\[0.8em] &= 0{,}15 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} P(M \cap \overline{D}) &= P(M) \cdot P_M(\overline{D}) \\[0.8em] &= 0{,}25 \cdot 0{,}25 \\[0.8em] &= 0{,}0625 \end{align*}\]

 

Anwenden der 2. Pfadregel:

 

\[\begin{align*} P(\overline{D}) &= P(W \cap \overline{D}) + P(M \cap \overline{D}) \\[0.8em] &= 0{,}15 + 0{,}0625 \\[0.8em] &= 0{,}2125 = 21{,}25\,\% \end{align*}\]

 

2.Lösungsansatz: Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten

 

Gegeben:

 

\[P(W) = 0{,}75 \hspace{50px} P_W(D) = 0{,}8\]

\[P(M) = 0{,}25 \hspace{50px} P_M(D) = 0{,}75\]

 

\(P(\overline{D})\,\) mithilfe der Vierfeldertafel berechnen:

 

  \(D\) \(\overline D\)  
\(W\) \(0{,}8 \cdot 0{,}75\) \(\bf{0{,}15}\) \(0{,}75\)
\(M\) \(0{,}75 \cdot 0{,}25\) \(\bf{0{,}0625}\) \(0{,}25\)
    \(\bf{0{,}2125}\) \(1\)

 

\[\begin{align*} P(W \cap \overline{D}) &= P(W) - P(W \cap D) \\[0.8em] &= 0{,}75 - 0{,}8 \cdot 0{,}75 \\[0.8em] &= 0{,}15 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} P(M \cap \overline{D}) &= P(M) - P(M \cap D) \\[0.8em] &= 0{,}25 - 0{,}75 \cdot 0{,}25 \\[0.8em] &= 0{,}0625 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} P(\overline{D}) &= P(W \cap \overline{D}) + P(M \cap \overline{D}) \\[0.8em] &= 0{,}15 + 0{,}0625 \\[0.8em] &= 0{,}2125 = 21{,}25\,\% \end{align*}\]

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