Lösung zu Teilaufgabe 3b
Zufallsgröße \(X \colon \enspace\) "Anzahl der von einem Kandidaten zu lösenden Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik"
Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis beim einmaligen Werfen zweier Würfel die Augensumme zu.
Wahrscheinlichkeit \(P(X = 3)\)
1. Lösungsansatz: Betrachten der Summe der Wahrscheinlichkeiten
Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(P(X = x)\) gleich eins ist, lässt sich der fehlende Wert \(P(X = 3)\) direkt mithilfe der vorhandenen Tabellenwerte berechnen.
\[\sum P(X = x) = 1\]
\[\begin{align*} P(X = 3) &= 1 - \big( P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 4) \big) \\[0.8em] &= 1 - \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + \frac{13}{36} + \frac{1}{36} \right) \\[0.8em] &=\frac{1}{6} \end{align*}\]
2. Lösungsansatz: Betrachten des Ereignisses "Augensumme ist 3"
Baumdiagramm: Wahrscheinlichkeit \(\,P(X = 3)\,\) dafür, dass ein Kandidat drei Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss
Ereignis "Augensumme ist 3" = \(\{\,12\,,\,21\,\}\)
Baumdiagramm - Pfadregeln
Pfadregeln
Verzweigungsregel (Knotenregel)
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.
\[\begin{align*} P(X = 3) &= P(\{\,12\,,\,21\,\}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \end{align*}\]
Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\)
| \(\displaystyle x\) |
\(\displaystyle 0\) |
\(\displaystyle 1\) |
\(\displaystyle 2\) |
\(\displaystyle 3\) |
\(\displaystyle 4\) |
| \(\displaystyle P(X = x)\) |
\(\displaystyle \frac{1}{9}\) |
\(\displaystyle \frac{1}{3}\) |
\(\displaystyle \frac{13}{36}\) |
\(\displaystyle \frac{1}{6}\) |
\(\displaystyle \frac{1}{36}\) |
Erwartungswert einer Zufallsgröße
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\mu = E(X) = 0 \cdot \frac{1}{9} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{13}{36} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac {1}{36} = \frac{5}{3}\]
Stabdiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung \(\,P(X = x)\,\) und Erwartungswert \(\,\mu\,\) der Zufallsgröße \(\,X\)
