Teilaufgabe 3b

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\) "Anzahl der von einem Kandidaten zu lösenden Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik"

 

Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis beim einmaligen Werfen zweier Würfel die Augensumme zu.

 

Wahrscheinlichkeit \(P(X = 3)\)

 

1. Lösungsansatz: Betrachten der Summe der Wahrscheinlichkeiten

 

Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(P(X = x)\) gleich eins ist, lässt sich der fehlende Wert \(P(X = 3)\) direkt mithilfe der vorhandenen Tabellenwerte berechnen.

 

\[\sum P(X = x) = 1\]

 

\[\begin{align*} P(X = 3) &= 1 - \big( P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 4) \big) \\[0.8em] &= 1 - \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + \frac{13}{36} + \frac{1}{36} \right) \\[0.8em] &=\frac{1}{6} \end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Betrachten des Ereignisses "Augensumme ist 3"

 

Baumdiagramm: Wahrscheinlichkeit \(\,P(X = 3)\,\) dafür, dass ein Kandidat drei Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss

 

Ereignis "Augensumme ist 3" = \(\{\,12\,,\,21\,\}\)

\[\begin{align*} P(X = 3) &= P(\{\,12\,,\,21\,\}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \end{align*}\]

 

Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\)

 

\(\displaystyle x\)	\(\displaystyle 0\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 4\)
\(\displaystyle P(X = x)\)	\(\displaystyle \frac{1}{9}\)	\(\displaystyle \frac{1}{3}\)	\(\displaystyle \frac{13}{36}\)	\(\displaystyle \frac{1}{6}\)	\(\displaystyle \frac{1}{36}\)

 

\[\mu = E(X) = 0 \cdot \frac{1}{9} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{13}{36} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac {1}{36} = \frac{5}{3}\]

 

Stabdiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung \(\,P(X = x)\,\) und Erwartungswert \(\,\mu\,\) der Zufallsgröße \(\,X\)