Teilaufgabe 3d

Bestimmen Sie, wie viele Kandidaten an der Quizshow mindestens teilnehmen müssten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % wenigstens ein Kandidat darunter ist, der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3d

 

Binomialverteilung

Zufallsgröße \(K \colon \enspace\) "Anzahl der Kandidaten, die keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen müssen"

 

Analyse der Angabe:

 

"... wenigstens ein Kandidat ..., der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."

\(\Longrightarrow \quad K \geq 1\)

 

"... keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."

\(\Longrightarrow \quad p = P(X = 0) = \frac{1}{9}\,\) (siehe Teilaufgabe 1b)

 

"... mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % ..."

\(\Longrightarrow \quad P^n_{\frac{1}{9}}(K \geq 1) > 0{,}9\)

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[\begin{align*} P^n_{\frac{1}{9}}(K\geq 1) &> 0{,}9 & &|\; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &> 0{,}9 & &| -1 \\[0.8em] - P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &> -0{,}1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &< 0{,}1 & &|\; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{\left( \frac{1}{9} \right)^0}_{1} \cdot \left( \frac{8}{9} \right)^n &< 0{,}1 & &|\; \ln(\dots) \\[0.8em] n \cdot \ln\left( \frac{8}{9} \right) &< \ln(0{,}1) & &| :\ln\left( \frac{8}{9} \right) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln(0{,}1)}{\ln\left( \frac{8}{9} \right)} \\[0.8em] n &> 19{,}549... \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad n \geq 20\]

 

Es müssen mindesten 20 Kandidaten an der Quizshow teilnehmen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3c Teilaufgabe 3e »