Teilaufgabe 3d
Lösung zu Teilaufgabe 3d
Binomialverteilung
Zufallsgröße \(K \colon \enspace\) "Anzahl der Kandidaten, die keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen müssen"
Analyse der Angabe:
"... wenigstens ein Kandidat ..., der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."
\(\Longrightarrow \quad K \geq 1\)
"... keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."
\(\Longrightarrow \quad p = P(X = 0) = \frac{1}{9}\,\) (siehe Teilaufgabe 1b)
"... mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % ..."
\(\Longrightarrow \quad P^n_{\frac{1}{9}}(K \geq 1) > 0{,}9\)
Betrachten des Gegenereignisses:
\[\begin{align*} P^n_{\frac{1}{9}}(K\geq 1) &> 0{,}9 & &|\; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &> 0{,}9 & &| -1 \\[0.8em] - P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &> -0{,}1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &< 0{,}1 & &|\; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{\left( \frac{1}{9} \right)^0}_{1} \cdot \left( \frac{8}{9} \right)^n &< 0{,}1 & &|\; \ln(\dots) \\[0.8em] n \cdot \ln\left( \frac{8}{9} \right) &< \ln(0{,}1) & &| :\ln\left( \frac{8}{9} \right) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln(0{,}1)}{\ln\left( \frac{8}{9} \right)} \\[0.8em] n &> 19{,}549... \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad n \geq 20\]
Es müssen mindesten 20 Kandidaten an der Quizshow teilnehmen.
