Lösung zu Teilaufgabe 3d
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Zufallsgröße \(K \colon \enspace\) "Anzahl der Kandidaten, die keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen müssen"
Analyse der Angabe:
"... wenigstens ein Kandidat ..., der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."
\(\Longrightarrow \quad K \geq 1\)
"... keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."
\(\Longrightarrow \quad p = P(X = 0) = \frac{1}{9}\,\) (siehe Teilaufgabe 1b)
"... mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % ..."
\(\Longrightarrow \quad P^n_{\frac{1}{9}}(K \geq 1) > 0{,}9\)
Betrachten des Gegenereignisses:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
Formel von Bernoulli
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*} P^n_{\frac{1}{9}}(K\geq 1) &> 0{,}9 & &|\; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &> 0{,}9 & &| -1 \\[0.8em] - P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &> -0{,}1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &< 0{,}1 & &|\; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{\left( \frac{1}{9} \right)^0}_{1} \cdot \left( \frac{8}{9} \right)^n &< 0{,}1 & &|\; \ln(\dots) \\[0.8em] n \cdot \ln\left( \frac{8}{9} \right) &< \ln(0{,}1) & &| :\ln\left( \frac{8}{9} \right) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln(0{,}1)}{\ln\left( \frac{8}{9} \right)} \\[0.8em] n &> 19{,}549... \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad n \geq 20\]
Es müssen mindesten 20 Kandidaten an der Quizshow teilnehmen.
