Teilaufgabe 3e
Lösung zu Teilaufgabe 3e
1. Lösungsansatz: Auffassung als 3-stufiges Zufallsexperiment
Der Showmaster wählt, jeweils zufällig, ein Kuvert und aus diesem nacheinander zwei Karten aus.
Kuvert A: 2 rote Karten von 5 Spielkarten
Kuvert B: 3 rote Karten von 5 Spielkarten
Baumdiagramm:
Ziehen ohne Zurücklegen: Das Ziehen einer ersten roten Karte verändert die Wahrscheinlichkeit, eine zweite rote Karte zu ziehen.
Anwenden der 1. Pfadregel:
\[P(RR \cap A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}\]
\[P(RR \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}\]
Anwenden der 2. Pfadregel:
\[\begin{align*}P(RR) &= P(RR \cap A) + P(RR \cap B) \\[0.8em] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{20} + \frac{3}{20} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} = 20\,\%\end{align*}\]
2. Lösungsansatz: Auffassung als 2-stufiges Zufallsexperiment
Der Showmaster wählt, jeweils zufällig, ein Kuvert und aus diesem "mit einem Griff" zwei Karten aus.
Kuvert A: 2 rote Karten von 5 Spielkarten
Kuvert B: 3 rote Karten von 5 Spielkarten
Baumdiagramm:
Ziehen ohne Zurücklegen: Die Wahl zweier Karten aus einem Kuvert lässt sich durch das Ziehen mit einem Griff simulieren.
\[P(RR\;\text{aus Kuvert}\;A) = \frac{\binom{2}{2} \cdot \binom{3}{0}}{\binom{5}{2}} = \frac{1 \cdot 1}{10} = \frac{1}{10}\]
\[P(RR\;\text{aus Kuvert}\;B) = \frac{\binom{3}{2} \cdot \binom{2}{0}}{\binom{5}{2}} = \frac{3 \cdot 1}{10} = \frac{3}{10}\]
Anwenden der 1. Pfadregel:
\[P(RR \cap A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{20}\]
\[P(RR \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{20}\]
Anwenden der 2. Pfadregel:
\[\begin{align*}P(RR) &= P(RR \cap A) + P(RR \cap B) \\[0.8em] \\[0.8em] &= \frac{1}{20} + \frac{3}{20} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} = 20\,\%\end{align*}\]
