Teilaufgabe 3e

Für eine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik kommen zwei Kuverts zum Einsatz, die jeweils fünf Spielkarten enthalten. Es ist bekannt, dass das eine Kuvert genau zwei und das andere genau drei rote Spielkarten enthält. Der Showmaster wählt, jeweils zufällig, ein Kuvert und aus diesem zwei Karten aus.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden ausgewählten Karten rot sind, 20 % beträgt.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3e

 

1. Lösungsansatz: Auffassung als 3-stufiges Zufallsexperiment

 

Der Showmaster wählt, jeweils zufällig, ein Kuvert und aus diesem nacheinander zwei Karten aus.

 

Kuvert A: 2 rote Karten von 5 Spielkarten

Kuvert B: 3 rote Karten von 5 Spielkarten

 

Baumdiagramm:

 

3-stufiges Baumdiagramm zu Teilaufgabe 3e Stochastik I Mathematik Abitur Bayern 2012

Ziehen ohne Zurücklegen: Das Ziehen einer ersten roten Karte verändert die Wahrscheinlichkeit, eine zweite rote Karte zu ziehen.

Anwenden der 1. Pfadregel:

 

\[P(RR \cap A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}\]

\[P(RR \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}\]

 

Anwenden der 2. Pfadregel:

 

\[\begin{align*}P(RR) &= P(RR \cap A) + P(RR \cap B) \\[0.8em] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{20} + \frac{3}{20} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} = 20\,\%\end{align*}\]

 

2. Lösungsansatz: Auffassung als 2-stufiges Zufallsexperiment

 

Der Showmaster wählt, jeweils zufällig, ein Kuvert und aus diesem "mit einem Griff" zwei Karten aus.

 

Kuvert A: 2 rote Karten von 5 Spielkarten

Kuvert B: 3 rote Karten von 5 Spielkarten

 

Baumdiagramm:

 

2-stufiges Baumdiagramm zu Teilaufgabe 3e Stochastik I Mathematik Abitur Bayern 2012

Ziehen ohne Zurücklegen: Die Wahl zweier Karten aus einem Kuvert lässt sich durch das Ziehen mit einem Griff simulieren.

\[P(RR\;\text{aus Kuvert}\;A) = \frac{\binom{2}{2} \cdot \binom{3}{0}}{\binom{5}{2}} = \frac{1 \cdot 1}{10} = \frac{1}{10}\]

\[P(RR\;\text{aus Kuvert}\;B) = \frac{\binom{3}{2} \cdot \binom{2}{0}}{\binom{5}{2}} = \frac{3 \cdot 1}{10} = \frac{3}{10}\]

 

Anwenden der 1. Pfadregel:

 

\[P(RR \cap A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{20}\]

\[P(RR \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{20}\]

 

Anwenden der 2. Pfadregel:

 

\[\begin{align*}P(RR) &= P(RR \cap A) + P(RR \cap B) \\[0.8em] \\[0.8em] &= \frac{1}{20} + \frac{3}{20} \\[0.8em] &= \frac{1}{5} = 20\,\%\end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3d Teilaufgabe 3f »