Teilaufgabe 2

Ein Jahr später möchte die Tageszeitung ermitteln, ob sich durch die Verfilmung der Anteil \(p\) der Jugendlichen, die den Roman gelesen haben, wesentlich erhöht hat. Die Nullhypothese \(H_0 \colon p \leq 0{,}15\) soll mithilfe einer Stichprobe von 100 Jugendlichen auf einem Signifikanzniveau von 10 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

Signifikanztest

 

Zufallsgröße \(R \colon \enspace\) "Anzahl der Jugendlichen, die angeben, den Roman gelesen zu haben."

 

Analyse der Angabe:

 

"Die Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\) ... soll getestet werden."

\(\Longrightarrow \quad p_0 = 0{,}15\)

 

"... mithilfe einer Stichprobe von 100 Jugendlichen ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Stichprobenumfang \(\,n = 100\)

 

"... auf einem Signifikanzniveau von 10 % ..."

\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\,\alpha = 0{,}1\)

 

Die Irrtumswahrscheinlichkeit dafür, dass das Stichprobenergebnis zufällig ein gesteigertes Interesse der Jugendlichen am Roman aussagt, obwohl tatsächlich höchstens 15 % der Jugendlichen den Roman gelesen haben, soll höchstens 10 % betragen.

\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}1\)

 

Rechtsseitiger Signifikanztest

Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\)

Gegenhypothese \(H_1 \colon \enspace p > 0{,}15\)

 

Annahmebereich von \(H_0\,\): \(A = \{0; 1; \dots; k\}\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\,\): \(\overline{A} = \{k + 1; \dots; 100\}\)

 

Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:

 

\[P^{100}_{0{,}15}(R \geq k + 1) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}1\]

 

Betrachten des Gegenereignisses:

\[\begin{align*}P^{100}_{0{,}15}(R \geq k + 1) &\leq 0{,}1 \\[0.8em] 1 - P^{100}_{0{,}15}(R \leq k) &\leq 0{,}1 & &| -1 \\[0.8em] -P^{100}_{0{,}15}(R \leq k) &\leq -0{,}9 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^{100}_{0{,}15}(R \leq k) &\geq 0{,}9 \end{align*}\]

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

 

\[P^{100}_{0{,}15} (R \leq k) = F^{100}_{0{,}15} (k) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^{k} B(100; 0{,}15; i) \enspace \overset{!}{\geq} \enspace 0{,}9\]

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 20 \quad \left( F^{100}_{0{,}15} (20) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}93368 \right)\]

 

Entscheidungsregel formulieren:

 

Annahmebereich von \(H_0\,\): \(A = \{0; 1; \dots; 20\}\)

Ablehnungsbereich von \(H_0\,\): \(\overline{A} = \{21; \dots; 100\}\)

 

Wenn mindestens 21 Jugendliche angeben, den Roman gelesen zu haben, wird die Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\) abgelehnt.

 

Rechtsseitiger Signifikanztest: Fehler 1. Art, Annahmebereich, Ablehnungsbereich

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