Teilaufgabe 4c

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt, wie oft der Mechanismus beim Schließen des Vorhangs im Verlauf einer Aufführung nicht funktioniert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von \(X\) um mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4c

 

Binomialverteilung

 

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\) "Anzahl der Defekte des automatischen Mechanismus"

 

Aus Teilaufgabe 4a ist bekannt:

\(n = 15\,, \enspace p = 0{,}1\)

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(15;0{,}1)\) binomialverteilt.

 

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie stark die zu erwartenden Werte einer Zufallsgröße um den Erwartungswert streuen. In dieser Aufgabe soll die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden, dass die Werte der Zufallsgröße \(X\) außerhalb der durch die Standardabweichung festgelegten Streuung liegen.

 

Gesucht: \(\;P^{15}_{0{,}1}(X < \mu - \sigma \; \vee \; X > \mu + \sigma)\)

 

Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) bestimmen:

\[\mu = E(X) = n \cdot p = 15 \cdot 0{,}1 = 1{,}5\]

 

Standardabweichung der Zufallsgröße \(X\) bestimmen:

\[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{15 \cdot 0{,}1 \cdot (1 - 0{,}1)} = \sqrt{1{,}35} \approx 1{,}16\]

 

Streugrenzen der Sigma-Umgebung bestimmen:

 

\[\mu - \sigma = 1{,}5 - \sqrt{1{,}35} \approx 0{,}34\]

\[\mu - \sigma = 1{,}5 + \sqrt{1{,}35} \approx 2{,}66\]

 

Wahrscheinlichkeit \(\,P^{15}_{0{,}1}(X < \mu - \sigma \; \vee \; X > \mu + \sigma)\,\) berechnen:

 

\[\begin{align*}P^{15}_{0{,}1}(X < \mu - \sigma \; \vee \; X > \mu + \sigma) &= P^{15}_{0{,}1}(X < 0{,}34 \, \vee \, X > 2{,}66) \\[0.8em] &= P^{15}_{0{,}1}(X = 0 \, \vee \, X \geq 3) \\[0.8em] &= P^{15}_{0{,}1}(X = 0) + P^{15}_{0{,}1}(X \geq 3) & &| \;\text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] &= P^{15}_{0{,}1}(X = 0) + 1 - P^{15}_{0{,}1}(X \leq 2) \end{align*}\]

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

\[\begin{align*}P^{15}_{0{,}1}(X < \mu - \sigma \; \vee \; X > \mu + \sigma) &= P^{15}_{0{,}1}(X = 0) + 1 - P^{15}_{0{,}1}(X \leq 2) \\[0.8em] &\overset{ST}{=} 0{,}20589 + 1 - 0{,}81594 \\[0.8em] &= 0{,}38995 \approx 39\,\% \end{align*}\]

 

Alternative: Rechenweg mit dem Gegenereignis beginnen

 

\[\begin{align*}P^{15}_{0{,}1}(X < \mu - \sigma \; \vee \; X > \mu + \sigma) &= 1 - P^{15}_{0{,}1}(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \\[0.8em] &= 1 - P^{15}_{0{,}1}(0{,}34 \leq X \leq 2{,}66) \\[0.8em] &= 1 - P^{15}_{0{,}1}(1 \leq X \leq 2) \\[0.8em] &= 1 - \big[ P^{15}_{0{,}1}(X = 1) + P^{15}_{0{,}1}(X = 2) \big] \\[0.8em] &\overset{ST}{=} 1 - (0{,}34315 + 0{,}26690) \\[0.8em] &= 0{,}38995 \approx 39\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von X um mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, dass der Wert der Zufallsgröße \(\,X\,\) um mehr als eine Standardabweichung \(\,\sigma\,\) vom Erwartungswert \(\,\mu\,\) der Zufallsgröße abweicht.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 4b