Teilaufgabe 1b
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[g(x) = \sqrt{3x + 9}\,; \quad D_g = [-3; +\infty[\]
\[P\,(0|3)\]
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
\[T\,\colon\,y = g'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + g(x_{P})\]
\[x_{P} = 0\]
1. Ableitung g' bilden:
\[g(x) = \sqrt{3x + 9} = (3x + 9)^{\frac{1}{2}}\]
\[g'(x) = \frac{1}{2} \cdot (3x + )^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2 \sqrt{3x + 9}}\]
oder
\[g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x + 9}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 9}}\]
\[g'(0) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 9}} = \frac{1}{2}\]
\[\begin{align*} y &= g'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + g(x_{P}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (x - 0) + 3 \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x + 3 \end{align*}\]
\[T\,\colon\, y = \frac{1}{2}x + 3\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(0|3)\]
Tangentensteigung bestimmen:
\(\displaystyle g'(x) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3x + 9}}\;\) (siehe 1. Lösungsansatz)
\[m_{T} = g'(0) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 9}} = \frac{1}{2}\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
Da der Punkt \(P\,(0|3)\) auf der \(y\)-Achse liegt, kann der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) dem Punkt \(P\) entnommen werden.
\[P\,(0|3) \quad \Longrightarrow \quad t = y_{P} = 3\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = \frac{1}{2}x + 3\]
Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\)
