Teilaufgabe 1b

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\).

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[g(x) = \sqrt{3x + 9}\,; \quad D_g = [-3; +\infty[\]

\[P\,(0|3)\]

 

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[T\,\colon\,y = g'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + g(x_{P})\]

\[x_{P} = 0\]

 

1. Ableitung g' bilden:

\[g(x) = \sqrt{3x + 9} = (3x + 9)^{\frac{1}{2}}\]

 

\[g'(x) = \frac{1}{2} \cdot (3x + )^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2 \sqrt{3x + 9}}\]

oder

\[g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x + 9}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 9}}\]

 

\[g'(0) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 9}} = \frac{1}{2}\]

 

\[\begin{align*} y &= g'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + g(x_{P}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (x - 0) + 3 \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x + 3 \end{align*}\]

 

\[T\,\colon\, y = \frac{1}{2}x + 3\]

 

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(0|3)\]

 

Tangentensteigung bestimmen:

\(\displaystyle g'(x) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3x + 9}}\;\) (siehe 1. Lösungsansatz)

 

\[m_{T} = g'(0) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 9}} = \frac{1}{2}\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

 

Da der Punkt \(P\,(0|3)\) auf der \(y\)-Achse liegt, kann der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) dem Punkt \(P\) entnommen werden.

\[P\,(0|3) \quad \Longrightarrow \quad t = y_{P} = 3\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = \frac{1}{2}x + 3\]

 

Tangente t an den Graphen von g im Punkt P(0|3)

Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\)

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