Teilaufgabe 1b

Lösung zu Teilaufgabe 1b

\[g(x) = \sqrt{3x + 9}\,; \quad D_g = [-3; +\infty[\]

\[P\,(0|3)\]

1. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[T\,\colon\,y = g'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + g(x_{P})\]

\[x_{P} = 0\]

1. Ableitung g' bilden:

\[g(x) = \sqrt{3x + 9} = (3x + 9)^{\frac{1}{2}}\]

\[g'(x) = \frac{1}{2} \cdot (3x + )^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2 \sqrt{3x + 9}}\]

oder

\[g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x + 9}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 9}}\]

\[g'(0) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 9}} = \frac{1}{2}\]

\[\begin{align*} y &= g'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + g(x_{P}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (x - 0) + 3 \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x + 3 \end{align*}\]

\[T\,\colon\, y = \frac{1}{2}x + 3\]

2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(0|3)\]

Tangentensteigung bestimmen:

\(\displaystyle g'(x) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3x + 9}}\;\) (siehe 1. Lösungsansatz)

\[m_{T} = g'(0) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 9}} = \frac{1}{2}\]

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:

Da der Punkt \(P\,(0|3)\) auf der \(y\)-Achse liegt, kann der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) dem Punkt \(P\) entnommen werden.

\[P\,(0|3) \quad \Longrightarrow \quad t = y_{P} = 3\]

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = \frac{1}{2}x + 3\]

Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\)