Teilaufgabe 2b

\(\mathbb W = [-2;2]\)

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

1. Lösungsansatz: Sinusfunktion oder Kosinusfunktion

 

Eine Sinusfunktion oder eine Kosinusfunktion, die nicht in \(y\)-Richtung verschoben ist, und deren Amplitude \(a = 2\) beträgt, ist in \(\mathbb R\) definiert und hat die Wertemenge \(W = [-2;2]\).

\[f(x) = 2 \cdot \sin(bx + c)\]

\[g(x) = 2 \cdot \cos(bx + c)\]

 

Beispiele:

\[f(x) = 2 \cdot \sin x\]

\[g(x) = 2 \cdot \cos \left(3x + \frac{\pi}{3} \right)\]

 

Beispiel für eine Sinusfunktion und eine Kosinusfunktion mit der Amplitude a = 2, die jeweils nicht in y-Richtung verschoben ist.

Sinusfunktion \(f\) und Kosinusfunktion \(g\) mit dem Wertebereich \(\mathbb W = [-2;2]\)

 

Anmerkung: Der Nachfolgende 2. Lösungsansatz erfordert ein vertieftes Verständnis der Funktionenlehre. Er orientiert sich nicht am Grundwissen eines Teil 1 des Aufgabenbereichs Analysis. 

  

2. Lösungsansatz: Funktionen, deren absolute Extrema die Wertemenge bestimmen

 

Für den Ansatz wird eine gebrochenrationale Funktion \(k\) mit folgenden Eigenschaften gewählt:

- Der Graph von \(k\) hat keine Polstelle (\(D_k = \mathbb R\))

- Der Graph von \(k\) besitzt eine einfache Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel)

- Die \(x\)-Achse ist für \(x \to \pm \infty\) waagrechte Asymptote von \(G_k\)

 

\[k(x) = a \cdot \frac{x}{x^2 + 1}\]

 

Da für den Nennerterm \(x^2 + 1 > 0\) gilt, ist die gebrochenrationale Funktion \(k\) in \(\mathbb R\) definiert. Für \(x = 0\) hat \(G_k\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Da der Grad des Zählerpolynoms um eins kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms, besitzt der Graph von \(k\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote.

\(\displaystyle \lim \limits_{x \, \to \, - \infty} \biggl( a \cdot \frac{x}{\underbrace{x^2 + 1}_{\to \, + \infty}} \biggr) = 0^- \,; \quad\) \(\displaystyle \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \biggl( a \cdot \frac{x}{\underbrace{x^2 + 1}_{\to \, + \infty}} \biggr) = 0^+ \,;\)

Der Faktor \(a\) bewirkt eine Streckung von \(G_k\) in \(y\)-Richtung. Er bestimmt die Lage der absoluten Extrema, welche die Wertemenge einschränken.

Der Graph von \(k\) ist punktsymmetrisch \(k(-x) = -k(x)\), weshalb ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum zu erwarten ist.

 

Faktor \(a\) bzw. Lage der absoluten Extrema bestimmen:

 

Die Wertemnge \(\mathbb W = [-2;2]\) legt die Funktionswerte an den Extremstellen \(x_{E_1}\) und \(x_{E_2}\) fest.

\[k(x_{E_1}) = -2\,; \quad k(x_{E_2}) = 2\]

oder

\[k(x_{E_1}) = 2\,; \quad k(x_{E_2}) = -2\]

 

Notwendige Bedingung für die Extremstellen von \(G_k\):

\[k'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

1. Ableitung \(k'(x)\) bilden:

\[k(x) = a \cdot \frac{x}{x^2 + 1}\]

 

\[\begin{align*}k'(x) &= a \cdot \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \\[0.8em] &= a \cdot \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}k'(x) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad -x^2 + 1 &= 0 & &| + x^2 \\[0.8em] 1 &= x^2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \pm 1 &= x_{1,2} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad x_{E_1} = -1; \quad x_{E_2} = 1\]

 

Faktor \(a\) berechnen:

 

\[\begin{align*} k(x_{E_1}) &= -2 \\[0.8em] k(-1) &= -2 \\[0.8em] a \cdot \frac{-1}{((-1)^2 + 1)} &= -2 \\[0.8em] -\frac{a}{2} &= -2 & &| \cdot (-2) \\[0.8em] a &= 4 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} k(x_{E_2}) &= 2 \\[0.8em] k(1) &= 2 \\[0.8em] a \cdot \frac{1}{(1^2 + 1)} &= 2 \\[0.8em] \frac{a}{2} &= 2 & &| \cdot 2 \\[0.8em] a &= 4 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad k_1(x) = 4 \cdot \frac{x}{(x^2 + 1)}\]

 

Für \(a = -4\) ist der Graph von \(G_{k_1}\) an der \(y\)-Achse gespiegelt.

\[\Longrightarrow \quad k_2(x) = -4 \cdot \frac{x}{(x^2 + 1)}\]

Graphen der gebrochenrationalen Funktionen k₁ und k₂

Graphen der in \(\mathbb R\) definierten gebrochenrationalen Funktionen \(k_1\) und \(k_2\) mit der Wertemenge \(\mathbb W = [-2;2]\)

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