Teilaufgabe 4

Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\).

Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_1^x f(t)\,dt\). Berücksichtigen Sie dabei mit jeweils angemessener Genauigkeit insbesondere die Nullstellen und Extremstellen von \(F\) sowie \(F(0)\).

Abbildung 1Abb. 1

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4

 

\[F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\,; \quad D = \mathbb R \]

 

Vorschau: Graph der Integralfunktion \(F\) skizzieren

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 1

    Erste Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze: \(\displaystyle F(1) = \int_1^1 f(t)\,dt = 0\)

    An der Nullstelle \(x_{N_1} = 1\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\).

    Integralfunktion F skizzieren - Grafik 1

    Erste Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze: \(\displaystyle F(1) = \int_1^1 f(t)\,dt = 0\)

    An der Nullstelle \(x_{N_1} = 1\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\).

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 2

    Zweite Nullstelle durch Abschätzen der Flächenbilanz:

    \[ F(-1{,}1) = \int_1^{-1{,}1} f(t)\,dt \approx 0\]

    Integralfunktion F skizzieren - Grafik 2

    Zweite Nullstelle durch Abschätzen der Flächenbilanz:

    \[ F(-1{,}1) = \int_1^{-1{,}1} f(t)\,dt \approx 0\]

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 3

    Verlauf des Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\) in der Nähe der zweiten Nullstelle

    An der Nullstelle \(x_{N_2}\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\).

    Integralfunktion F skizzieren - Grafik 3

    Verlauf des Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\) in der Nähe der zweiten Nullstelle

    An der Nullstelle \(x_{N_2}\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\).

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 4

    Dritte Nullstelle durch Abschätzen der Flächenbilanz:

    \[F(2{,}9) = \int_1^{2{,}9} f(t)\,dt \approx 0\]

    Integralfunktion F skizzieren - Grafik 4

    Dritte Nullstelle durch Abschätzen der Flächenbilanz:

    \[F(2{,}9) = \int_1^{2{,}9} f(t)\,dt \approx 0\]

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 5

    Verlauf des Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\) in der Nähe der dritten Nullstelle

    An der Nullstelle \(x_{N_3}\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\).

    Integralfunktion F skizzieren - Grafik 5

    Verlauf des Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\) in der Nähe der dritten Nullstelle

    An der Nullstelle \(x_{N_3}\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\).

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 6

    Erste Extremstelle der Integralfunktion \(F\): \(F'(0) = f(0) = 0\)

    \[F(0) = \int_1^0 f(t)\,dt \approx 0{,}5\,; \quad HoP\,(0|0{,}5)\]

    Integralfunktion F skizzieren - Grafik 6

    Erste Extremstelle der Integralfunktion \(F\): \(F'(0) = f(0) = 0\)

    \[F(0) = \int_1^0 f(t)\,dt \approx 0{,}5\,; \quad HoP\,(0|0{,}5)\]

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 7

    Zweite Extremstelle der Integralfunktion \(F\): \(F'(2{,}3) = f(2{,}3) \approx 0\)

    \[F(2{,}3) = \int_1^{2{,}3} f(t)\,dt \approx -1{,}25\,; \quad TiP\,(2{,}3|-1{,}25)\]

    Integralfunktion F skizzieren - Grafik 7

    Zweite Extremstelle der Integralfunktion \(F\): \(F'(2{,}3) = f(2{,}3) \approx 0\)

    \[F(2{,}3) = \int_1^{2{,}3} f(t)\,dt \approx -1{,}25\,; \quad TiP\,(2{,}3|-1{,}25)\]

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 8

    Skizze des Graphen der Integralfunktion \(F\)

    \[F(1) = 0\,, \quad F(-1{,}1) \approx 0\,, \quad F(2{,}9) \approx 0\]

    \[HoP\,(0|0{,}5)\,, \quad TiP\,(2{,}3|-1{,}25)\]

    Integralfunktion F skizzieren - Grafik 8

    Skizze des Graphen der Integralfunktion \(F\)

    \[F(1) = 0\,, \quad F(-1{,}1) \approx 0\,, \quad F(2{,}9) \approx 0\]

    \[HoP\,(0|0{,}5)\,, \quad TiP\,(2{,}3|-1{,}25)\]

  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 1
  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 2
  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 3
  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 4
  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 5
  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 6
  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 7
  • Integralfunktion F skizzieren - Grafik 8

 

Nullstellen der Integralfunktion \(F\)

 

Erste Nullstelle der Integralfunktion \(F\):

Die Integralfunktion \(F\) hat an der unteren Integrationsgrenze \(x = 1\) eine Nullstelle.

 

\[F(1) = \int_1^1 f(t)\,dt = 0\]

Verlauf des Graphen der Integralfunktion F in der Nähe der ersten Nullstelle N₁

Verlauf des Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\) in der Nähe der ersten Nullstelle \(x_{N_1} = 1\)

Im Intervall \(]0;1[\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse. Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^x f(t\,dt)\) ist für \(x \in \; ]0;1[\) dennoch positiv, da „nach links" integriert wird (Der Wert der oberen Intergationsgrenze ist kleiner als der Wert der unteren Integrationsgrenze). Es gilt: \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt = - \int_x^1 f(t)\,dt\)

\(\Longrightarrow \quad F(x) > 0\) für \(x \in \;]0;1[\)

Im Intervall \(]1; \approx 2{,}3[\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse. Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) ist somit für \(x \in \; ]1; \approx 2{,}3[\) negativ.

\(\Longrightarrow \quad F(x) < 0\) für \(x \in \; ]1; \approx 2{,}3[\)

\(\Longrightarrow \quad\) An der Nullstelle \(x_{N_1}\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\).

 

Die zweite und die dritte Nullstelle der Integralfunktion \(F\) lassen sich näherungsweise durch Abschätzen der Flächenbilanz ermitteln.

 

Zweite Nullstelle der Integralfunktion \(F\):

Zweite Nullstelle der Integralfunktion F 

Zweite Nullstelle der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\,\): \(x_{N_2} \approx -1{,}1\)

Flächenbilanz - zweite Nullstelle:

Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im Intervall \([0;1]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, ist gleich dem Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im Intervall \([\approx -1{,}1;0]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

Im Intervall \([0;1]\) zählt das Integral \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) den Flächeninhalt positiv, da \(G_f\) zwar unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, aber „nach links" integriert wird.

Im Intervall \([\approx -1{,}1;0]\) zählt das Integral \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) den Flächeninhalt negativ, da \(G_f\) zwar oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, aber „nach links" integriert wird.

\[\Longrightarrow \quad F(-1{,}1) = \int_1^{-1{,}1} f(t)\,dt \approx 0\]

Verlauf des Graphen der Integralfunktion F in der Nähe der zweiten Nullstelle N₂

Verlauf des Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\) in der Nähe der zweiten Nullstelle \(x_{N_2} \approx -1{,}1\)

Für \(x \in \; ]\approx -1{,}1;0[\) ist die Flächenbilanz des Integrals \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) positiv (im Bild für \(x = 0{,}5\) veranschaulicht), d.h. der Graph von \(F\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse.

\(F(x) > 0\) für \(x \in \; ]\approx -1{,}1;0[\)

Für \(x \lessapprox -1{,}1\) ist die Flächenbilanz des Integrals \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) negativ (im Bild für \(x = -1{,}7\) veranschaulicht), d.h. der Graph von \(F\) verläuft unterhalb der \(x\)-Achse.

\(F(x) < 0\) für \(x \lessapprox -1{,}1\)

\(\Longrightarrow \quad\) An der Nullstelle \(x_{N_2}\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\).

 

Dritte Nullstelle der Integralfunktion \(F\): 

Dritte Nullstelle der Integralfunktion F 

Dritte Nullstelle der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\,\): \(x_{N_3} \approx 2{,}9\)

Flächenbilanz - dritte Nullstelle:

Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im Intervall \([1;\approx 2{,}3]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, ist gleich dem Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im Intervall \([\approx 2{,}3;\approx 2{,}9]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

Im Intervall \([1;\approx 2{,}3]\) zählt das Integral \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) den Flächeninhalt negativ, da \(G_f\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

Im Intervall \([\approx 2{,}3; \approx2{,}9]\) zählt das Integral \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) den Flächeninhalt positiv, da \(G_f\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft.

\[\Longrightarrow \quad F(2{,}9) = \int_1^{2{,}9} f(t)\,dt \approx 0\]

Verlauf des Graphen der Integralfunktion F in der Nähe der dritten Nullstelle N₃

Verlauf des Graphen der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\) in der Nähe der dritten Nullstelle \(x_{N_3} \approx 2{,}9\)

Für \(x \in \; ]\approx 2{,}3; \approx 2{,}9[\) ist die Flächenbilanz des Integrals \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) negativ (im Bild für \(x = 2{,}7\) veranschaulicht), d.h. der Graph von \(F\) verläuft unterhalb der \(x\)-Achse.

\(F(x) < 0\) für \(x \in \; ]\approx 2{,}3; \approx 2{,}9[\)

Für \(x \gtrapprox 2{,}9\) ist die Flächenbilanz des Integrals \(\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\) positiv (im Bild für \(x = 3{,}1\) veranschaulicht), d.h. der Graph von \(F\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse.

\(F(x) > 0\) für \(x \gtrapprox 2{,}9\)

\(\Longrightarrow \quad\) An der Nullstelle \(x_{N_3}\) wechselt der Graph von \(F\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\).

 

Extremstellen der Integralfunktion \(F\)

 

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[F'(x) = f(x)\]

Notwendige Bedingung für die Extremstellen der Integralfunktion \(F\):

\[F'(x) = f(x) \overset{!}{=} 0\]

\(\Longrightarrow \quad\) Die Nullstellen der Funktion \(f\) sind die Extremstellen der Integralfunktion \(F\).

 

Erste Extremstelle der Integralfunktion \(F\):

Erste Extremstelle der Integrafunktion F (Hochpunkt)

Erste Extremstelle der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\):

\[F'(0) = f(0) = 0\]

Der Graph von \(f\) hat an der Stelle \(x = 0\) eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). Demnach ändert der Graph von \(F\) das Monotieverhalten von „streng monoton steigend" zu „streng monoton fallend".

\[\left. \begin{align*} &F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < 0 \\ &F'(0) = 0 \\ &F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > 0 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt} \; HoP\,(0|F(0))\]

Der Wert für \(\displaystyle F(0) = \int_1^0 f(t)\,dt\) lässt sich näherungsweise bestimmen, indem man den Flächeninhalt des Flächenstücks abschätzt, das der Graph von \(f\) im Intervall \([0;1]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Das Integral \(\displaystyle \int_1^0 f(t)\,dt\) zählt den Flächeninhalt positiv, da \(G_f\) zwar unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, aber „nach links" integriert wird.

Der Flächeninhalt entsprich ungefähr dem Flächeninhalt von zwei Kästchen (\(0{,}5^2\) FE).

\[2 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}5\]

\[\Longrightarrow \quad F(0) = \int_1^0 f(t)\,dt \approx 0{,}5\]

\[\Longrightarrow \quad HoP \,(0|0{,}5)\]

 

Zweite Extremstelle der Integralfunktion \(F\):

Zweite Extremstelle der Integralfunktion F (Tiefpunkt)

Zweite Extremstelle der Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_1^x f(t)\,dt\):

\[F'(2{,}3) = f(2{,}3) \approx 0\]

Der Graph von \(f\) hat an der Stelle \(x \approx 2{,}3\) eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\). Demnach ändert der Graph von \(F\) das Monotieverhalten von „streng monoton fallend" zu „streng monoton steigend".

\[\left. \begin{align*} &F'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x \lessapprox 2{,}3 \\ &F'(2{,}3) \approx 0 \\ &F'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x \gtrapprox 2{,}3 \end{align*} \right \} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt} \; TiP\,(2{,}3|F(2{,}3))\]

Der Wert für \(\displaystyle F(2{,}3) = \int_1^{2{,}3} f(t)\,dt\) lässt sich näherungsweise bestimmen, indem man den Flächeninhalt des Flächenstücks abschätzt, das der Graph von \(f\) im Intervall \([1;2{,}3]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Das Integral \(\displaystyle \int_1^{2{,}3} f(t)\,dt\) zählt den Flächeninhalt negativ, da \(G_f\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

Der Flächeninhalt entsprich ungefähr dem Flächeninhalt von fünf Kästchen (\(0{,}5^2\) FE).

\[5 \cdot 0{,}5^2 = 1{,}25\]

\[\Longrightarrow \quad F(2{,}3) = \int_1^{2{,}3} f(t)\,dt \approx -1{,}25\]

\[\Longrightarrow \quad TiP \,(2{,}3|-1{,}25)\]

 

Zusammenfassung und Skizze des Graphen der Integralfunktion \(F\)

 

\[F(1) = 0\,, \quad F(-1{,}1) \approx 0\,, \quad F(2{,}9) \approx 0\]

\[HoP\,(0|0{,}5)\,, \quad TiP\,(2{,}3|-1{,}25)\]

Skizze des Graphen der Integralfunktion F

Skizze des Graphen der Integralfunktion \(F\) 

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