Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abbildung 2Abb. 2 

Weisen Sie nach, dass \(G_f\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\) plausibel, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\) gilt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Nachweis der Punktsymmetrie von \(G_f\)

\[f(-x) = 2 \cdot (-x) \cdot e^{-0{,}5 \cdot (-x)^2} = -2x \cdot e^{-0{,}5x^2} = -f(x)\]

\(\Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

 

Nachweis, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\) gilt

 

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\]

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \enspace \underset{\to \, + \infty}{2x} \cdot \; \underbrace{e^{-0{,}5x^2}}_{\to \, 0}\]

 

Die Grenzwertbetrachtung führt auf den unbestimmten Ausdruck \(\infty \cdot 0\).

 

1. Lösungsansatz: Wichtiger Grenzwert (siehe Merkhilfe)

\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} 2 \cdot \frac{x}{e^{0{,}5x^2}} = 0\]

 

Für \(x \to + \infty\) wächst \(\displaystyle e^{0{,}5x^2}\) schneller als \(x\).

 

2. Lösungsansatz: Regel von L'Hospital anwenden

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} = \frac{2x}{e^{0{,}5x^2}}\]

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \; \frac{\overset{\to \, + \infty}{2x}}{\underbrace{e^{0{,}5x^2}}_{\to \, + \infty }}\]

 

Der Grenzwert führt auf den unbestimmten Ausdruck \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\).

 

Ableitung des Zählerterms und des Nennerterms bestimmen:

\[(2x)' = 2\]

\[\left( e^{0{,}5x^2} \right)' = e^{0{,}5x^2} \cdot 0{,}5 \cdot 2 x = x \cdot e^{0{,}5x^2}\]

 

Regel von L'Hospital anwenden:

\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \; \frac{2x}{e^{0{,}5x^2}} = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \; \frac{2}{\underbrace{x \cdot e^{0{,}5x^2}}_{\to \, + \infty}} = 0\]

 

Anmerkung:

Die Regel von L'Hospital ist nicht im G8 Mathematik Lehrplan enthalten. Erfahrungsgemäß wird diese aber des Öfteren optional unterrichtet, um Grenzwertbetrachtungen von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) zu vertiefen.

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