Teilaufgabe 1b

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\,\); y-Koordinate des Hochpunkts: \(\frac{2}{\sqrt{e}}\))

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Lage der Extrempunkte

 

Notwendige Bedingung für die Extremstellen von \(G_f\,\):

 

\[f'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung \(f'(x)\) bilden:

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\]

 

\[\begin{align*}f'(x) &= 2 \cdot e^{-0{,}5x^2} + 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} \cdot (-0{,}5) \cdot 2x \\[0.8em] &= 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2) \end{align*}\]

 

\[\underbrace{2e^{-0{,}5x^2}}_{> \, 0} \cdot (1 - x^2) = 0\]

 

\[\begin{align*} 1 - x^2 &= 0 & &| + x^2 \\[0.8em] 1 &= x^2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \pm 1 &= x_{1,2} \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad x_{E_1} = -1\) und \(x_{E_2} = 1\) sind Extremstellen von \(G_f\).

 

\[f(-1) = 2 \cdot (-1) \cdot e^{-0{,}5 \cdot (-1)^2} = -2 \cdot e^{-0{,}5} = -\frac{2}{\sqrt{e}}\]

\[f(1) = 2 \cdot 1 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 1^2} = 2 \cdot e^{-0{,}5} = \frac{2}{\sqrt{e}}\]

 

\(\Longrightarrow \quad \displaystyle \biggl(-1|-\frac{2}{\sqrt{e}}\biggr)\) und \(\displaystyle \biggl(1|\frac{2}{\sqrt{e}}\biggr)\) sind Extrempunkte von \(G_f\).

 

Art der Extrempunkte

 

1. Lösungsansatz: Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) (Monotonieverhalten von \(G_f\))

\[f'(x) = \underbrace{2e^{-0{,}5x^2}}_{> \, 0} \cdot (1 - x^2)\]

Der Faktor \((1 - x^2)\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) in der Umgebung der Extremstellen \(x_{E_1}\) und \(x_{E_2}\).

 

\[x_{E_1} = -1\]

\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < -1 \\ &f'(-1) = 0 \\ &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > -1 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}, \; TiP \, \biggl(-1|-\frac{2}{\sqrt{e}} \biggr)\]

 

\[x_{E_2} = 1\]

\[\left. \begin{align*} &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < 1 \\ &f'(1) = 0 \\ &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > 1 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}, \; HoP\, \biggl(1|\frac{2}{\sqrt{e}} \biggr)\]

 

2. Lösungsansatz: Art der Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung

Zweite Ableitung \(f''(x)\) bilden:

\[f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\]

 

\[\begin{align*} f''(x) &= 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (-0{,}5) \cdot 2x \cdot (1 - x^2) + 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (-2x) \\[0.8em] &= 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (x^3 - x) - 2e^{-0{,}5x^2} \cdot 2x \\[0.8em] &= 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (x^3 - 3x) \end{align*}\]

 

\[x_{E_1} = -1\]

\[\begin{align*} f''(-1) &= 2e^{-0{,}5 \cdot (-1)^2} \cdot \left((-1)^3 - 3 \cdot (-1) \right) \\[0.8em] &= 4e^{-0{,}5} \\[0.8em] &= \frac{4}{\sqrt{e}} \end{align*}\]

\[\left. \begin{align*} &f'(-1) = 0 \\ &f''(-1) > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt}, \; TiP\,\biggl(-1|-\frac{2}{\sqrt{e}}\biggr)\]

 

\[x_{E_2} = 1\]

\[\begin{align*} f''(1) &= 2e^{-0{,}5 \cdot (1)^2} \cdot \left((1)^3 - 3 \cdot (1) \right) \\[0.8em] &= -4e^{-0{,}5} \\[0.8em] &= -\frac{4}{\sqrt{e}} \end{align*}\]

\[\left. \begin{align*} &f'(1) = 0 \\ &f''(1) < 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}, \; HoP\,\biggl(1|\frac{2}{\sqrt{e}}\biggr)\]

Graph von f und Graf von f'

Graph von \(f\) und Graph von \(f'\)

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