Teilaufgabe 1c

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate \(m_S\) von \(f\) im Intervall \([-0{,}5; 0{,}5]\) sowie die lokale Änderungsrate \(m_T\) an der Stelle \(x = 0\). Berechnen Sie, um wie viel Prozent \(m_S\) von \(m_T\) abweicht.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

\[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Mittlere Änderungsrate \(m_S\)

Mittlere Änderungsrate von f im Intervall [-0,5;0,5]

Die mittlere Änderungsrate \(m_S\) der Funktion \(f\) im Intervall \([-0{,}5;0{,}5]\) ist gleich der Steigung der Sekante \(S\), welche die Punkte \((-0{,}5)|f(-0{,}5)\) und \((0{,}5|f(0{,}5))\) festlegen.

\[\begin{align*} m_S &= \frac{f(0{,}5) - f(-0{,}5)}{0{,}5 - (-0{,}5)} \\[0.8em] &= \frac{2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0{,}5^2} - 2 \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5 \cdot (-0{,}5)^2}}{1} \\[0.8em] &= e^{-0{,}125} + e^{-0{,}125} \\[0.8em] &= 2e^{-0{,}125} \\[0.8em] &\approx 1{,}765 \end{align*}\]

 

Lokale Änderungsrate \(m_T\)

Tangente T an die Funktion f an der Stelle x = 0

Die lokalen Änderungsrate \(m_T\) ist gleich der Steigung der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\).

\[m_T = \lim \limits_{x \, \to \, 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)\]

Die lokale Änderungsrate \(m_T\) ist gleich dem Wert der Ableitung der in \(\mathbb R\) differenzierteren Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\).

 

\(\displaystyle f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\) (siehe Teilaufgabe 1b)

\[m_T = f'(0) = 2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0^2} \cdot (1 - 0^2) = 2 \cdot e^0 = 2\]

 

Prozentuale Abweichung von \(m_S\)

 

\[\frac{m_T - m_S}{m_T} = \frac{2 - 1{,}765}{2} \approx 0{,}118 = 11{,}8\,\%\]

 

Die mittlere Änderungsrate \(m_S\) weicht um 11,8 % von der lokalen Änderungsrate \(m_T\) ab.

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