Teilaufgabe 2a

Im Folgenden wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_c \colon x \mapsto f(x) + c\) mit \(c \in \mathbb R\) betrachtet.

Geben Sie in Abhängigkeit von \(c\) ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von \(g_c\) sowie das Verhalten von \(g_c\) für \(x \to + \infty\) an.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[g_c(x) = f(x) + c\,; \quad c \in \mathbb R\]

 

Koordinaten des Hochpunkts von \(G_{g_c}\)

 

Der Graph einer Scharfunktion der Funktionenschar \(g_c\) entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion \(f\) um \(c\) in \(y\)-Richtung. Somit wird auch der Hochpunkt \(HoP\, \left( 1|\frac{2}{\sqrt{e}} \right)\) von \(G_f\) um \(c\) in \(y\)-Richtung verschoben.

\(\Longrightarrow \quad\) Hochpunkt von \(G_{g_c}\): \(HoP\,\left( 1|\frac{2}{\sqrt{e}} + c \right)\)

 

  • Verschiebung in y-Richtung, g_c(x) = f(x) + c - Grafik 1

    Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(c = 1\): \(g_1(x) = f(x) + 1 = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 1\)

    \(\Longrightarrow \quad\) Hochpunkt von \(G_{g_1}\): \(HoP\,\left(1|\frac{2}{\sqrt{e}} + 1\right)\)

    Verschiebung in y-Richtung, g_c(x) = f(x) + c - Grafik 1

    Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(c = 1\): \(g_1(x) = f(x) + 1 = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 1\)

    \(\Longrightarrow \quad\) Hochpunkt von \(G_{g_1}\): \(HoP\,\left(1|\frac{2}{\sqrt{e}} + 1\right)\)

  • Verschiebung in y-Richtung, g_c(x) = f(x) + c - Grafik 2

    Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(c = 2\): \(g_2(x) = f(x) + 2 = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 2\)

    \(\Longrightarrow \quad\) Hochpunkt von \(G_{g_2}\): \(HoP\,\left(1|\frac{2}{\sqrt{e}} + 2\right)\)

    Verschiebung in y-Richtung, g_c(x) = f(x) + c - Grafik 2

    Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(c = 2\): \(g_2(x) = f(x) + 2 = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 2\)

    \(\Longrightarrow \quad\) Hochpunkt von \(G_{g_2}\): \(HoP\,\left(1|\frac{2}{\sqrt{e}} + 2\right)\)

  • Verschiebung in y-Richtung, g_c(x) = f(x) + c - Grafik 1
  • Verschiebung in y-Richtung, g_c(x) = f(x) + c - Grafik 2

 

Verhalten von \(g_c\) für \(x \to + \infty\)

 

Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt:

\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\]

 

Daraus folgt für das Verhalten von \(g_c\) für \(x \to + \infty\):

\[\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} g_c(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} (f(x) + c) = c\]

 

Die Gerade \(y = c\) ist waagrechte Asymptote von \(G_{g_c}\).

Graph der Scharfunktion g₁ = f(x) + 1 für c = 1 mit waagrechter Asymptote y = 1

Graph der Scharfunktion \(g_1 = f(x) + 1\) für \(c = 1\) mit waagrechter Asymptote \(y = 1\).

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