Teilaufgabe 2b

Die Anzahl der Nullstellen von \(g_c\) hängt von \(c\) ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von \(c\) an, sodass gilt:

α) \(g_c\) hat keine Nullstelle.

β) \(g_c\) hat genau eine Nullstelle.

γ) \(g_c\) hat genau zwei Nullstellen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[g_c(x) = f(x) + c\,; \quad c \in \mathbb R\]

 

Die \(y\)-Koordinate des (absoluten) Tiefpunkts \(TiP\,\left(-1|-\frac{2}{\sqrt{e}}\right)\) und die \(y\)-Koordinate des (absoluten) Hochpunkts \(HoP\,\left(1|\frac{2}{\sqrt{e}}\right)\) der Funktion \(f\) legen die Wertemenge \(\mathbb W_f\) fest.

\[\mathbb W_f = \left[ -\frac{2}{\sqrt{e}}; \frac{2}{\sqrt{e}} \right]\]

Mögliche Werte von \(c\), welche die Anzahl der Nullstellen von \(g_c\) bestimmen, orientieren sich an \(\mathbb W_f\).

 

α) \(g_c\) hat keine Nullstelle

Für \(c \in \left]-\infty; -\frac{2}{\sqrt{e}}\right[ \cup \left]\frac{2}{\sqrt{e}}; + \infty\right[\) hat \(g_c\) keine Nullstelle.

\[\frac{2}{\sqrt{e}} \approx 1{,}21\]

Mögliche Werte von \(c\):

\(c = -2\) oder \(c = 2\)

Scharfunktion g₋₂ und g₂ für c = -2 und c = 2

Die Graphen der Scharfunktionen \(g_{-2}\) und \(g_2\) haben keine Nullstelle.

 

β) \(g_c\) hat genau eine Nullstelle

Für \(c = 0\) hat \(g_c\) genau die eine Nullstelle von \(f\), denn es gilt:

\[g_0(x) = f(x) + 0 = f(x)\]

Für \(c = -\frac{2}{\sqrt{e}}\) bzw. \(c = \frac{2}{\sqrt{e}}\) berührt der Hochpunkt \(HoP\,\left(1|\frac{2}{\sqrt{e}}\right)\) von \(G_f\) bzw. der Tiefpunkt \(TiP\,\left(1|-\frac{2}{\sqrt{e}}\right)\) von \(G_f\) die \(x\)-Achse. Somit hat \(g_c\) jeweils genau eine Nullstelle.

Funktion f und Scharfuktionen gc mit genau einer Nullstelle

Graphen der Scharfunktionen von \(g_c\) mit genau einer Nullstelle.

 

γ) \(g_c\) hat genau zwei Nullstellen.

Für \(c \in \left]-\frac{2}{\sqrt{e}};0\right[ \cup \left]0;\frac{2}{\sqrt{e}}\right[\) hat \(g_c\) genau zwei Nullstellen.

\[\frac{2}{\sqrt{e}} \approx 1{,}21\]

Mögliche Werte von \(c\):

\(c = -1\) oder \(c = 1\)

Scharfunktion g₋₁ und g₁ für c = -1 und c = 1

Die Graphen der Scharfunktionen \(g_{-1}\) und \(g_1\) haben haben genau zwei Nullstellen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a Teilaufgabe 2c »