Teilaufgabe 3a

Die Anzahl der KInder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird.

Die Funktion \(g_{1{,}4} \colon x \mapsto 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 1{,}4\) beschreibt für \(x \geq 0\) modelhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist \(x\) die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d.h. \(x = 1\) entspricht dem Jahr 1965) und \(g_{1{,}4} (x)\) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.

Zeichnen Sie den Graphen von \(g_{1{,}4}\) in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

\[g_{1{,}4}(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 1{,}4\,; \quad x \geq 0\]

Graph der Funktion g₁₄

Im Rahmen der Ablesegenauigkeit entnimmt man die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(g_{1{,}4}\) und der Geraden \(y = 2{,}1\).

\[x_1 \approx 0{,}4\,; \quad x_2 \approx 1{,}8\]

\(x_1 \approx 0{,}4\) entspricht dem Jahr 1959.

\(x_2 \approx 1{,}8\) entspricht dem Jahr 1973.

Im Zeitraum von 1959 bis 1973 beträgt die Geburtenziffer mindestens 2,1.

 

Anmerkung: Der gesuchte Zeitraum lässt sich ebenfalls am u.U. genaueren Graphen der Funktion \(f\) ablesen. In diesem Fall muss \(f(x) = 2{,}1 - 1{,}4 = 0{,}7\) gelten. Man liest also die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von \(f\) und der Geraden \(y = 0{,}7\) ab.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2c Teilaufgabe 3b »