Teilaufgabe 1

Geben Sie für die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \ln (2013 - x)\) den maximalen Definitionsbereich \(D\), das Verhalten von \(f\) an den Grenzen von \(D\) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen an.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

\[f(x) = \ln (2013 - x)\]

 

Maximaler Definitionsbereich \(D\)

 

Die Logarihmusfunktion ist in \(\mathbb R^+\) definiert.

 

\[\begin{align*} 2013 - x &> 0 & &| + x \\[0.8em] 2013 &> x  \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D = \; ]- \infty; 2013[\]

 

Verhalten von \(f\) an den Grenzen von \(D\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, - \infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, - \infty} \ln \underbrace{(2013 - x)}_{\to \, + \infty} = + \infty\]

\[\lim \limits_{x \, \to \, 2013^{-}} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, 2013^{-}} \ln \underbrace{(2013 - x)}_{\to \, 0} = - \infty\]

  

Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen

 

Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle):

 

Es gilt: \(\;\ln 1 = 0\)

 

\[\begin{align*} 2013 - x &= 1 & &| - 1 \\[0.8em] 2012 - x &= 0 & &| + x \\[0.8em] 2012 &= x \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad N\,(2012|0)\]

 

Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse:

 

\[f(0) = \ln (2013 - 0) = \ln 2013 \approx 7{,}6\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_y\,(0|\ln 2013)\]

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