Teilaufgabe 2

Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot \sin x\) verläuft durch den Koordinatenursprung. Berechnen Sie \(f''(0)\) und geben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen von \(f\) in unmittelbarer Nähe des Koordinatenursprungs an.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2

 

\[f(x) = x \cdot \sin x\, ; \quad D = \mathbb R\]

 

Berechnung von \(f''(0)\)

\[\begin{align*} f'(x) &= 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x \\[0.8em] &= \sin x + x \cdot \cos x \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f''(x) &= \cos x + 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) \\[0.8em] &= \cos x + \cos x - x \cdot \sin x \\[0.8em] &= 2\cos x - x \cdot \sin x \end{align*}\]

 

\[f''(0) = 2 \cdot \underbrace{\cos 0}_{1} - 0 \cdot \sin 0 = 2\]

 

Krümmungsverhalten von \(G_f\) in unmittelbarer Nähe des Koordinatenursprungs

 

1. Lösungsansatz: Wert der Zweiten Ableitung \(f''(x)\) in der Nähe von \(x = 0\)

\[f''(x) = 2\cos x - x \cdot \sin x\]

 

Für \(x \to 0\) strebt der Term \(x \cdot \sin x\) gegen Null und der Term \(2 \cos x\) gegen den Wert \(2\).

 

\[\lim \limits_{x \,\to \, 0^-} f''(x) = \lim \limits_{x \,\to \, 0^-} \; \underbrace{2 \cos x}_{\to \, 2} - \underbrace{x \cdot \sin x}_{\to \, 0} = 2\]

\[\lim \limits_{x \,\to \, 0^+} f''(x) = \lim \limits_{x \,\to \, 0^+} \; \underbrace{2 \cos x}_{\to \, 2} - \underbrace{x \cdot \sin x}_{\to \, 0} = 2\]

 

Somit gilt in der unmittelbaren Nähe des Koordinatenursprungs:

 

\(f''(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist linksgekrümmt.

 

2. Lösungsansatz: Art des Extrempunkts

Wegen \(f'(0) = \sin 0 + 0 \cdot \cos 0 = 0\) und \(f''(0) > 0\) hat \(G_f\) an der Stelle \(x = 0\) ein relatives Minimum. Daraus lässt sich folgern, dass \(G_f\) in unmittelbarer Nähe des Koordinatenursprungs linksgekrümmt ist.

Graph der Funktion f

Graph der Funktion \(f\)

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