Teilaufgabe 3b

Bestimmen Sie einen Näherungswert \(x_1\) für die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(d \colon x \mapsto g(x) - h(x)\) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_0 = 1\) durchführen.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\[\begin{align*}g(x) &= e^{-x} & & D = \mathbb R \\ h(x) &= x^3 & & D = \mathbb R \end{align*}\]

 

Anmerkung: Zur Berechnung der Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen werden die Funktionsterme gleichgesetzt \((g(x) = h(x))\) und anschließend die Gleichung nach der Variablen \(x\) aufgelöst. Alternativ bestimmt man die Nullstellen der Differenzfunktion \(g(x) - h(x)\).

\[g(x) = h(x) \quad \Longleftrightarrow \quad g(x) - h(x) = 0\]

 

\[\begin{align*}d(x) &= g(x) - h(x) \\[0.8em] &= e^{-x} - x^3 \end{align*}\]

 

\[d(x) = 0\]

\[x_1 = x_0 - \frac{d(x_0)}{d'(x_0)}\,; \quad x_0 =1\]

 

Erste Ableitung \(d'(x)\) bilden:

\[\begin{align*}d'(x) &= e^{-x} \cdot (-1) - 3x^2 \\[0.8em] &= -e^{-x} - 3x^2 \end{align*}\]

 

Newton-Verfahren anwenden:

 

\[\begin{align*}x_1 &= x_0 - \frac{d(x_0)}{d'(x_0)} \\[0.8em] &= 1 - \frac{e^{-1} - 1^3}{-e^{-1} - 3 \cdot 1^2} \\[0.8em] &= 1 - \frac{e^{-1} - 1}{-e^{-1} - 3} \\[0.8em] &\approx 0{,}8123 \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 3a Teilaufgabe 4a »