Teilaufgabe 4b

Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

Vorschau: Graph der Integralfunktion \(F\) skizzieren

  • Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 1

    Nullstelle der Integralfunktion \(F\) und Funktionswerte, die sich mithilfe der Flächeninhalte von Halb- und Viertelkreis berechnen lassen. 

    Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 1

    Nullstelle der Integralfunktion \(F\) und Funktionswerte, die sich mithilfe der Flächeninhalte von Halb- und Viertelkreis berechnen lassen. 

  • Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 2

    Die Extremstellen des Graphen der Funktion \(f\) sind die Wendestellen der Integralfunktion \(F\). Der Funktionswert von \(f\) an den Extremstellen ist gleich der Steigung der Wendetangenten von \(F\).

    Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 2

    Die Extremstellen des Graphen der Funktion \(f\) sind die Wendestellen der Integralfunktion \(F\). Der Funktionswert von \(f\) an den Extremstellen ist gleich der Steigung der Wendetangenten von \(F\).

  • Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 3

    Mithilfe des Vorzeichens der Steigung der Tangenten an \(G_f\) lässt sich das Krümmungsverhalten des Graphen der Integralfunktion \(F\) ermitteln.

    Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 3

    Mithilfe des Vorzeichens der Steigung der Tangenten an \(G_f\) lässt sich das Krümmungsverhalten des Graphen der Integralfunktion \(F\) ermitteln.

  • Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 4

    An den Nullstellen des Graphen der Funktion \(f\) besitzt der Graphen der Integralfunktion \(F\) waagrechte Tangenten.

    Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 4

    An den Nullstellen des Graphen der Funktion \(f\) besitzt der Graphen der Integralfunktion \(F\) waagrechte Tangenten.

  • Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 1
  • Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 2
  • Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 3
  • Halbkreise, Integralfunktion F skizzieren - Grafik 4

 

\[F(x) = \int_0^x f(t)\,dt\,; \quad D = [-2;2]\]

 

Aus Teilaufgabe 4a ist bekannt:

\[F(0) = \int_0^0 f(t)\,dt = 0 \quad \Longrightarrow \quad (0|0)\]

\[F(2) = \int_0^2 f(t)\,dt = \frac{\pi}{2} \quad \Longrightarrow \quad \left(2|\frac{\pi}{2}\right)\]

\[F(-2) = \int_0^{-2} f(t)\,dt = -\frac{\pi}{2} \quad \Longrightarrow \quad \left(-2|-\frac{\pi}{2}\right)\]

Die Funktionswerte \(F(-1)\) und \(F(1)\) lassen sich zusätzlich einfach berechnen, indem man den Flächeninhalt eines Viertelkreises bestimmt:

\[F(-1) = \int_0^{-1} f(t)\,dt = -\frac{\pi}{4} \quad \Longrightarrow \quad \left(-1|-\frac{\pi}{4}\right)\]

\[F(1) = \int_0^1 f(t)\,dt = \frac{\pi}{4} \quad \Longrightarrow \quad \left(1|\frac{\pi}{4}\right)\]

Graph der Funktion f, Graph der Integralfunktion F

Die bisher errechneten Funktionswerte für die Integralfunktion \(F\) vermitteln den Eindruck, der Graph von \(F\) sei eine Gerade.

Dieser Eindruck ist falsch!

 

Begründung, weshalb \(G_F\) keine Gerade sein kann

 

1. Wäre \(G_F\) eine Gerade, müsste \(f(x) = c\) mit \(c \in \mathbb R\) gelten.

\[\int c \,dx = c \cdot x + C\]

2. Unterteilt man die beiden Halbkreise parallel zur \(y\)-Achse in Teilflächen von gleicher Breite \(\Delta x\), wird deutlich, dass die Flächeninhalte der Teilflächen nicht gleich sind.

Daher kann die Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_0^x f(t)\,dt\) nicht proportional zur oberen Integrationsgrenze \(x\) sein.

\[F(x) \not \sim x\]

Unterteilung der Halbkreise parallel zur y-Achse in Teilflächen von gleicher Breite Δx

Unterteilung der beiden Halbkreise parallel zur y-Achse in Teilflächen von gleicher Breite \(\Delta x\)

 

Weitere Eigenschaften des Graphen der Integralfunktion \(F\)

 

Betrachtung der Extremstellen von \(G_f\):

Waagrechte Tangente y = 1 an den Extremstellen des Graphen von f, Tangenten in der Umgebung der Extremstellen des Graphen von f

Waagrechte Tangente \(y = 1\) an den Extremstellen \(x_{E_1} = -1\) und \(x_{E_2} = 1\) von \(G_f\), Tangenten in der Umgebung der Extremstellen von \(G_f\)

 

An den Extremstellen \(x_{E_1} = -1\) und \(x_{E_2} = 1\) hat der Graph von \(f\) eine waagrechte Tangente mit der Gleichung \(y = 1\). Die erste Ableitung \(f'(x)\) beschreibt die Steigung einer Tangente an \(G_f\). Also gilt:

\[f'(-1) = 0\,; \quad f'(1) = 0\]

 

Daraus folgt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

\[f'(-1) = F''(-1) = 0\,; \quad f'(1) = F''(1) = 0\]

 

In der Umgebung der Extremstellen \(x_{E_1} = -1\) und \(x_{E_2} = 1\) von \(G_f\) wechselt die Steigung der Tangente an \(G_f\) von positiv nach negativ. Demnach sind die Extremstellen von \(G_f\) die Wendestellen des Graphen der Integralfunktion \(F\).

\[\Longrightarrow \quad W_1\,\left(-1|-\frac{\pi}{4}\right)\,,\quad W_2\,\left(1|\frac{\pi}{4}\right)\]

 

Wendetangente:

Wegen \(f(-1) = 1\) und \(f(1) = 1\) gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

\[f(-1) = F'(-1) = 1\,; \quad f(1) = F'(1) = 1\]

 

Damit folgt für Steigung der Wendetangenten \(w_1\) und \(w_2\):

\[m_{w_1} = F'(-1) = 1\,; \quad m_{w_2} = F'(1) = 1\]

 

Wichtig: Die Extremstellen des Graphen der Ableitung \(f'\) einer Funktion \(f\) sind immer die Wendestellen des Graphen einer Funktion \(f\). An den Wendestellen ist die Steigung des Graphen einer Funktion \(f\) (Steigung der Wendetangente) maximal oder minimal. Das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion \(f\) ändert sich an den Wendestellen.

 

Betrachtung der Graphenkrümmung von \(G_F\):

Graph der Integralfunktion F, Wendepunkte des Graphen von F, Krümmungsverhalten des Graphen von F

Graph der Integralfunktion \(F\) mit den Wendepunkten \(W_1\) und \(W_2\)

Für \(x \in \; ]-2;-1[\) ist die Steigung einer Tangente an \(G_f\) positiv.

\(\Longrightarrow \quad f'(x) = F''(x) > 0\) für \(x \in \; ]-2;-1[\)

\(\Longrightarrow \quad G_F\) ist im Intervall \(]-2;-1[\) linksgekrümmt.

 

Für \(x \in \; ]-1;0[\) ist die Steigung einer Tangente an \(G_f\) negativ.

\(\Longrightarrow \quad f'(x) = F''(x) < 0\) für \(x \in \; ]-1;0[\)

\(\Longrightarrow \quad G_F\) ist im Intervall \(]-1;0[\) rechtsgekrümmt.

 

Für \(x \in \; ]0;1[\) ist die Steigung einer Tangente an \(G_f\) positiv.

\(\Longrightarrow \quad f'(x) = F''(x) > 0\) für \(x  \in \; ]0;1[\)

\(\Longrightarrow \quad G_F\) ist im Intervall \(]0;1[\) linksgekrümmt.

 

Für \(x \in \; ]1;2[\) ist die Steigung einer Tangente an \(G_f\) negativ.

\(\Longrightarrow \quad f'(x) = F''(x) < 0\) für \(x  \in \; ]1;2[\)

\(\Longrightarrow \quad G_F\) ist im Intervall \(]1;2[\) rechtsgekrümmt.

 

Betrachtung der Nullstellen der Funktion \(f\):

Nullstellen des Graphen der Funktion f und waagrechte Tangenten der Integralfunktion F

Nullstellen des Graphen der Funktion \(f\) und waagrechte Tangenten des Graphen der Integralfunktion \(F\)

  

Die Nullstellen der Funktion \(f\) sind \(x_{N_1} = -2\), \(x_{N_2} = 0\) und \(x_{N_3} = 2\).

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

\[f(-2) = F'(-2) = 0\]

\[f(0) = F'(0) = 0\]

\[f(2) = F'(2) = 0\]

Demnach hat der Graph der Integralfunktion \(F\) in den Punkten \(\displaystyle \left(-2|-\frac{\pi}{2}\right)\), \((0|0)\) und \(\displaystyle \left(2|\frac{\pi}{2}\right)\) waagrechte Tangenten mit den Gleichungen \(\displaystyle y = -\frac{\pi}{2}\), \(y = 0\) und \(\displaystyle y = \frac{\pi}{2}\).

 

10-fache Vergrößerung: Verhalten des Graphen von F in der Umgebung der Nullstelle x = 0

10-fache Vergrößerung: Verhalten des Graphen der Integralfunktion \(F\) in der Umgebung der Nullstelle \(x = 0\).

 

Anmerkung: Die Vergrößerung verdeutlicht, wie schwierig es ist, den Graphen der Integralfunktion \(F\) an den Nullstellen der Funktion \(f\) zu skizzieren. Die Aufgabenstellung verlangt lediglich nach einer Skizze von \(G_f\). Eine Begründung dafür ist nicht notwendig. Bei 2 BE (Bewertungseinheiten) soll der Graph von \(F\) vor allem keine Gerade sein, sondern in den Intervallen \([-2;0]\) und \([0;2]\) jeweils einem S-förmigen Verlauf folgen.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 4a