Teilaufgabe 1a

Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R \backslash \{-1\} \).

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

Abbildung 2Abb. 2

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von \(G_f\) an und zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_f\) seine schräge Asymptote nicht schneidet. Zeichnen Sie die Asymptoten in Abbildung 2 ein.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

\[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad D = \mathbb R \, \backslash \, \{-1\}\]

 

Gleichungen der Asymptoten von \(G_f\)

 

Die gebrochenrationale Funktion \(f\) besitzt für \(x = -1\) (Nullstelle des Nenners) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

\(\Longrightarrow \quad\) senkrechte Asymptote mit der Gleichung  \(x = -1\)

 

Die schräge Asymptote von \(G_f\) beschreibt das Verhalten von \(f\) für \(x \to \pm \infty\):

\[\begin{align*}\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} f(x) &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \biggl( \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{8}{x + 1}}_{\to \, 0} \biggr) \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} \biggl( \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \biggr)\end{align*}\]

\(\Longrightarrow \quad\) schräge Asymptote mit der Gleichung  \(\displaystyle y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)

 

Nachweis,  dass \(G_f\) seine schräge Asymptote nicht schneidet

 

Zur Berechnung der Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen werden die Funktionsterme gleichgesetzt.

 

\[\begin{align*}\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1} &= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} & &| - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \\[0.8em] \frac{8}{x + 1} &= 0 \end{align*}\]

Keine Lösung, da \(8 \neq 0\)

\(\Longrightarrow \quad G_f\) schneidet seine schräge Asymptote nicht. 

 

Einzeichnen der Asymptoten

Graph von f, senkrechte und schräge Asymptote

Graph der gebrochenrationalen Funktion \(f\), senkrechte Asymptote \(x = -1\) und schräge Asymptote \(\displaystyle y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)

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