Teilaufgabe 2b

Zeigen Sie, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt.

Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

(8 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad D = \mathbb R \, \backslash \, \{-1\}\]

 

Nachweis, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt

\[\int_0^4 f(x)\, dx = [F(x)]_0^4\]

 

Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\) bestimmen:

\[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\]

 

\[\begin{align*} F(x) &= \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 8 \cdot \frac{1}{1} \cdot \ln \vert x + 1 \vert + C \\[0.8em] &= \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 8 \cdot \ln \vert x + 1 \vert + C \end{align*}\]

 

Bestimmtes Integral \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx\) berechnen:

 

\[\begin{align*} \int_0^4 f(x)\,dx &= \int_0^4 \left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\right) \, dx \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 8 \cdot \ln \vert x + 1 \vert \right]_0^4 \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot 4^2 - \frac{1}{2} \cdot 4 + 8 \cdot \ln \vert 4 + 1 \vert - \left( \frac{1}{4} \cdot 0^2 - \frac{1}{2} \cdot 0 + 8 \cdot \ln \vert 0 + 1 \vert \right) \\[0.8em] &= 4 - 2 + 8 \cdot \ln 5 \\[0.8em] &= 2 + 8 \cdot \ln 5 \end{align*}\]

 

Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\)

Flächenstücke, die der Graph von f im Intervall [0;4] und im Intervall [-6;-2] mit der x-Achse einschließt

Wegen der Punktsymmetrie von \(G_f\) zum Punkt \(P\,(-1|-1)\) (siehe Teilaufgabe 2a) ist der Flächeninhalt des Flächenstücks \(A_1\), das \(G_f\) im Intervall \([0;4]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, gleich groß wie der Flächeninhalt des Flächenstücks \(A_2\), das \(G_f\) im Intervall \([-6;-2]\) mit der Geraden \(y = -2\) einschließt.

Der Flächeninhalt des Flächenstücks, das \(G_f\) im Intervall \([-6;-2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, errechnet sich als die Summe von \(A_2\) und dem Flächeninhalt \(A_3\) des Rechtecks, das die Gerade \(y = -2\) im Intervall \([-6;-2]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

Da \(G_f\) im Intervall \([-6;-2]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, zählt das Integral \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\) die Flächeninhalte der Flächenstücke \(A_2\) und \(A_3\) negativ.

 

\[\begin{align*} \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx &= - (A_2 + A_3) & &| \; A_1 = A_2 \\[0.8em] &= - (A_1 + A_3) \\[0.8em] &= - \left( \int_0^4 f(x)\,dx + 4 \cdot 2 \right) \\[0.8em] &= - (2 + 8 \cdot \ln 5 + 8) \\[0.8em] &= -10 - 8 \cdot \ln 5 \\[0.8em] &\approx -22{,}88 \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 2a Teilaufgabe 3a »