Teilaufgabe b

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(ABCD\) liegt in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E\;\colon \, 3x_1 + 4x_3 - 84 = 0\))

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Seitenfläche ABCD

Die Seitenfläche \(ABCD\) repräsentiert die Ebene \(E\).

Richtungsvektoren der Ebene \(E\) bestimmen:

Aus Teilaufgabe a sind die beiden linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AD}\) bereits bekannt.

 

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}; \enspace \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 10 & \cdot & 6 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-8) & - & 0 & \cdot & 6 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 10 & \cdot & (-8) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 60 \\ 0 \\ 80 \end{pmatrix} = 20 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\end{align*}

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

Es sei \(A\,(28|0|0)\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \, \colon \; \overrightarrow{n}_E \circ \left( \overrightarrow X - \overrightarrow A \right) = 0 \\[0.8em] &E \, \colon \; \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin {pmatrix} 28 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

\[\begin {align*} \begin {pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin {pmatrix} 28 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 3 \cdot (x_1 - 28) + 0 \cdot (x_2 - 0) + 4 \cdot (x_3 - 0) &= 0 \\[0.8em] 3x_1 - 84 + 4x_3 &= 0 \end {align*}\]

 

\[E\,\colon\; 3x_1 + 4x_3 - 84 = 0\]

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