Teilaufgabe f

Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von 2,1 t. Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe f

 

\[1\,\text{m}^3 \, \mathrel{\widehat{=}} \, 2{,}1\,\text{t}\]

 

1. Lösungsansatz: \(V = G \cdot h\) (siehe Teilaufgabe e)

 

  • Volumen des Spats V = G * h - Grafik 1
    Volumen des Spats V = G * h - Grafik 1
  • Volumen des Spats V = G * h - Grafik 2
    Volumen des Spats V = G * h - Grafik 2
  • Volumen des Spats V = G * h - Grafik 1
  • Volumen des Spats V = G * h - Grafik 2
 

Das Volumne des Spats \(ABCDPQRS\) lässt sich mithilfe der Formel \(V = G \cdot h\) berechnen, wobei \(G\) der Flächeninhalt des Rechtecks \(ABQP\) und \(h\) die zugehörige Höhe des Spats ist (siehe Teilaufgabe e).

 

Flächeninhalt \(G\) des Rechtecks \(ABQP\) berechnen:

\[G = \overline{AB} \cdot \overline{AP} = \vert \overrightarrow{AB} \vert \cdot \vert \overrightarrow{AP} \vert\]

 

\(\displaystyle \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe a)

\[\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 28 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -28 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*} G &= \vert \overrightarrow{AB} \vert \cdot \vert \overrightarrow{AP} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -28 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 10^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(-28)^2 + 0^2 + 0^2} \\[0.8em] &= 10 \cdot 28 \\[0.8em] &= 280 \end{align*}\]

 

Alternative: Flächeninhalt \(G\) mithilfe des Vektorprodukts berechnen:

\[\begin{align*} G &= \vert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -28 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 10 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-28) & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 10 & \cdot & (-28)\end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 280 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 0^2 + 280^2} \\[0.8em] &= 280 \end{align*}\]

 

Höhe \(h\) des Spats bestimmen:

 

\(D\,(20|0|6)\,, \enspace C\,(20|10|6)\enspace\) (siehe Teilaufgabe a)

 

\[\left. \begin{align*} DCRS &\parallel ABQP \\[0.8em] ABQP &\subset x_1x_2\text{-Ebene} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace h = x_{3_D} = x_{3_C} = 6\]

 

Volumen \(V\) des Spats \(ABCDPQRS\) berechnen:

 

\[V = G \cdot h = 280 \cdot 6 = 1680\]

 

Der Volumneinhalt des Spats \(ABCDPQRS\) beträgt 1680 VE (Volumeneinheiten).

 

\[1\,\text{LE} \, \mathrel{\widehat{=}} \, 0{,}1\,\text{m} \quad \Longrightarrow \quad 1\,\text{VE} \, \mathrel{\widehat{=}} \, 0{,}1^3\,\text{m}^3 = 0{,}001\,\text{m}^3\]

 

\[V = (1680 \cdot 0{,}001)\,\text{m}^3 = 1{,}68\,\text{m}^3\]

 

Der Volumneinhalt des Spats \(ABCDPQRS\) beträgt 1,68 m³.

 

Masse des Grundkörpers berechnen:

 

\[1\,\text{m}^3 \, \mathrel{\widehat{=}} \, 2{,}1\,\text{t}\]

 

\[m = (1{,}68 \cdot 2{,}1)\,\text{t} = 3{,}528\,\text{t} = 3528\,\text{kg}\]

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Spatprodukts

 

Drei linear unabhängige Vektoren spannen den Spat ABCDPQRS auf.

Die drei linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{AB}\,\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AP}\) spannen den Spat \(ABCDPQRS\) auf.

\[V = \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \right) \circ \overrightarrow{AD}\;\right|\]

  

\(\displaystyle \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}; \; \displaystyle \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}; \; \displaystyle \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} -28 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe a bzw. 1. Lösungsansatz)

 

Volumen \(V\) des Spats \(ABCDPQRS\) berechnen:

\[\begin {align*} V &= \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \right) \circ \overrightarrow{AD}\;\right| \\[0.8em] &= \left| \left[ \begin {pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} -28 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \right] \circ \begin {pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 10 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-28) & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 10 & \cdot & (-28) \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 280 \end {pmatrix} \circ \begin {pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end {pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| 0 \cdot (-8) + 0 \cdot 0 + 280 \cdot 6 \right| \\[0.8em] &= 1680 \end {align*}\]

 

Der Volumneinhalt des Spats \(ABCDPQRS\) beträgt 1680 VE (Volumeneinheiten).

 

\[1\,\text{LE} \, \mathrel{\widehat{=}} \, 0{,}1\,\text{m} \quad \Longrightarrow \quad 1\,\text{VE} \, \mathrel{\widehat{=}} \, 0{,}1^3\,\text{m}^3 = 0{,}001\,\text{m}^3\]

 

\[V = (1680 \cdot 0{,}001)\,\text{m}^3 = 1{,}68\,\text{m}^3\]

 

Der Volumneinhalt des Spats \(ABCDPQRS\) beträgt 1,68 m³.

 

Masse des Grundkörpers berechnen:

 

\[1\,\text{m}^3 \, \mathrel{\widehat{=}} \, 2{,}1\,\text{t}\]

 

\[m = (1{,}68 \cdot 2{,}1)\,\text{t} = 3{,}528\,\text{t} = 3528\,\text{kg}\]

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