Teilaufgabe h

Auf der Deckfläche des Grundkörpers liegt eine Stahlkugel mit einem Radius von 0,8 m. Im Modell berührt die Kugel die Deckfläche des Spats im Punkt \(K\). Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen könnte, ob die Stahlkugel die Stange berührt, wenn die Koordinaten von \(K\) bekannt wären.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe h

 

  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lage - Grafik 1
    Stahlstange berührt Stahlkugel, Lage - Grafik 1
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lage - Grafik 2
    Stahlstange berührt Stahlkugel, Lage - Grafik 2
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lage - Grafik 1
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lage - Grafik 2

Die Stahlkugel berührt die Stange, wenn der Abstand des Mittelpunktes \(M\) der Kugel von der Geraden \(h\) gleich dem Radius \(r\) der Kugel ist.

\[d\,(M;h) = r = 0{,}8\,\text{m}\,; \quad 0{,}8\,\text{m} \, \mathrel{\widehat{=}} 8\,\text{LE} \]

 

A) Mittelpunkt \(M\) der Kugel bestimmen:

 

Man erhält die Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) der Kugel, indem man den Punkt \(K\) um \(r = 8\) in Richtung der \(x_3\)-Achse verschiebt.

 

\[\overrightarrow{K} = \begin{pmatrix} x_{1_K} \\ x_{2_K} \\ 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} x_{1_K} \\ x_{2_K} \\ 6 + r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1_K} \\ x_{2_K} \\ 14 \end{pmatrix}\]

 

B) Abstand \(d\,(M;h)\) berechnen:

 

Ergänzung 

Nachfolgend werden drei mögliche Lösungsansätze für die Berechnung des Abstands \(d\,(M;h)\) grafisch kurz erläutert.

 

1. Lösungsansatz: Hilfsebene

  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Hilfsebene - Grafik 1
    Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Hilfsebene - Grafik 1
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Hilfsebene - Grafik 2
    Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Hilfsebene - Grafik 2
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Hilfsebene - Grafik 1
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Hilfsebene - Grafik 2

Die Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(M \in H\) und \(h \perp H\) schneidet die Gerade \(h\) im Lotfußpunkt \(F\) des Lotes des Mittelpunktes \(M\) der Kugel auf die Gerade \(h\).

\[ h \cap H \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{F}\]

\[d\,(M;h) = \overline{FM} = \vert \overrightarrow{FM} \vert\]

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts

  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Skalarprodukt - Grafik 1
    Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Skalarprodukt - Grafik 1
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Skalarprodukt - Grafik 2
    Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Skalarprodukt - Grafik 2
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Skalarprodukt - Grafik 1
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Skalarprodukt - Grafik 2

Lotfußpunkt \(F\) des Lotes des Mittelpunktes \(M\) der Kugel auf die Gerade \(h\), Orthogonale Vektoren: Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_h\) der Geraden \(h\) und Vektor \(\overrightarrow{FM}\)

\[F \in h\]

\[\overrightarrow{v}_h \circ \overrightarrow{FM} \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{FM}\]

\[d\,(M;h) = \vert \overrightarrow{FM} \vert\]

 

3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung

  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Differentialrechnung - Grafik 1
    Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Differentialrechnung - Grafik 1
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Differentialrechnung - Grafik 2
    Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Differentialrechnung - Grafik 2
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Differentialrechnung - Grafik 1
  • Stahlstange berührt Stahlkugel, Lösungsansatz Differentialrechnung - Grafik 2

Länge der Strecke \([MX]\) zwischen dem Mittelpunkt \(M\) der Stahlkugel und einem beliebigen Punkt \(X ∈ h\) in Abhängigkeit des Parameters \(λ\) der Geradengleichung von \(h\)

\[X \in h\]

\[\overline{MX}'(\lambda) \overset{!}{=} 0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_{\text{min}}\]

\[d\,(M;h) = \overline{MX}(\lambda_{\text{min}})\]

 

C) Fallunterscheidung:

 

\(d\,(M;h) = 8 \quad \Longrightarrow \quad\) Die Stahlkugel berührt die Stange.

\(d\,(M;h) > 8 \quad \Longrightarrow \quad\) Die Stahlkugel berührt die Stange nicht.

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