Teilaufgabe 1a

Geometrie II

    Die Abbildung zeigt modellhaft einen Austellungspavillon, der die Form einer geraden vierseitigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat und auf einer horizontalen Fläche steht. Das Dreieck \(BCS\) beschreibt im Modell die südliche Außenwand des Pavillons. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d.h. die Grundfläche des Pavillons hat eine Seitenlänge von 12 m.

    Abbildung: Gerade vierseitige Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD

    Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(B\) an und bestimmen Sie das Volumen des Pavillons.

    (3 BE)

    Lösung zu Teilaufgabe 1a

     

    Koordinaten des Punktes \(B\)

     

    1. Lösungsansatz: Vektoraddition

     

    Koordinaten des Punktes B durch Vektoraddition

    Die Koordinaten des Punktes \(B\) lassen sich durch Vektoraddition berechnen.

     

    \[\begin{align*} \overrightarrow{B} &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} & &| \; \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

    \[\Longrightarrow \quad B\,(12|12|0)\]

     

    2. Lösungsansatz: Argumentation mithilfe der Skizze und der Angabe

     

    Gerade vierseitige Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD

    Gerade vierseitige Pyramide \(ABCDS\) mit quadratischer Grundfläche

     

    Der Skizze sowie dem Text der Angabe entnimmt man folgende mathematische Sachverhalte:

     

    Quadrat \(ABCD\)

    \[B \in x_1x_2\text{-Ebene}\]

     

    \[\begin{align*} \Longrightarrow \quad x_{1_B} &= x_{1_A} \\[0.8em] x_{2_B} &= x_{2_C} \\[0.8em] x_{3_B} &= 0 \end{align*}\]

    \[\Longrightarrow \quad B\,(12|12|0)\]

     

    Volumen des Pavillons

     

    1. Lösungsansatz: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\)

    quadratische Grundfläche ABCD und Höhe h der geraden vierseitigen Pyramide ABCDS

    Quadratische Grundfläche \(ABCD\) und Höhe \(h\) der geraden vierseitigen Pyramide \(ABCDS\)

     

    \[V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot h\]

     

    Flächeninhalt \(A_{ABCD}\) der Grundfläche berechnen:

    Die Grundfläche des Pavillons hat eine Seitenlänge von 12 m (siehe Angabe).

     

    \[A_{ABCD} = 12^2 = 144\]

     

    Höhe \(h\) der Pyramide \(ABCDS\) bestimmen:

     

    \[h = d\,(S;x_1x_2\text{-Ebene}) = x_{3_S} = 8\]

     

    Volumne der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

     

    \[\begin{align*} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot h \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 \\[0.8em] &= 384 \end{align*}\]

     

    Das Volumne des Pavillons beträgt 384 m³.

     

    2. Lösungsansatz: Anwenden des Spatprodukts

     

    Drei linear unabhängige Vektoren spannen einen Spat auf. Das Volumen der dreiseitigen Pyramide ABDS beträgt ein sechstel des Volumens des Spats

    Die drei linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AS}\) spannen einen Spat auf. Das Volumen der dreiseitigen Pyramide \(ABDS\) beträgt ein sechstel des Volumens des Spats.

    \[\begin{align*} V_{ABCDS} &= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \end{align*}\]

     

    Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AS}\) bestimmen:

     

    \[A\,(12|0|0)\,,\enspace B\,(12|12|0)\,, \enspace D\,(0|0|0)\,,\enspace S\,(6|6|8)\]

     

    \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\]

    \[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

    \[\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}\]

     

    Volumen der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

    \[\begin{align*} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 12 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-12) & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 12 & \cdot & (-12) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 144 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| 0 \cdot (-6) + 0 \cdot 6 + 144 \cdot 8 \right| \\[0.8em] &= 384 \end{align*}\]

     

    Das Volumne des Pavillons beträgt 384 m³.

    Tags
    Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: Teilaufgabe 1b »