Teilaufgabe 1a

Die Abbildung zeigt modellhaft einen Austellungspavillon, der die Form einer geraden vierseitigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat und auf einer horizontalen Fläche steht. Das Dreieck \(BCS\) beschreibt im Modell die südliche Außenwand des Pavillons. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d.h. die Grundfläche des Pavillons hat eine Seitenlänge von 12 m.

Abbildung: Gerade vierseitige Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD

Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(B\) an und bestimmen Sie das Volumen des Pavillons.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Koordinaten des Punktes \(B\)

 

1. Lösungsansatz: Vektoraddition

 

Koordinaten des Punktes B durch Vektoraddition

Die Koordinaten des Punktes \(B\) lassen sich durch Vektoraddition berechnen.

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{B} &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} & &| \; \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad B\,(12|12|0)\]

 

2. Lösungsansatz: Argumentation mithilfe der Skizze und der Angabe

 

Gerade vierseitige Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD

Gerade vierseitige Pyramide \(ABCDS\) mit quadratischer Grundfläche

 

Der Skizze sowie dem Text der Angabe entnimmt man folgende mathematische Sachverhalte:

 

Quadrat \(ABCD\)

\[B \in x_1x_2\text{-Ebene}\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad x_{1_B} &= x_{1_A} \\[0.8em] x_{2_B} &= x_{2_C} \\[0.8em] x_{3_B} &= 0 \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad B\,(12|12|0)\]

 

Volumen des Pavillons

 

1. Lösungsansatz: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\)

quadratische Grundfläche ABCD und Höhe h der geraden vierseitigen Pyramide ABCDS

Quadratische Grundfläche \(ABCD\) und Höhe \(h\) der geraden vierseitigen Pyramide \(ABCDS\)

 

\[V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot h\]

 

Flächeninhalt \(A_{ABCD}\) der Grundfläche berechnen:

Die Grundfläche des Pavillons hat eine Seitenlänge von 12 m (siehe Angabe).

 

\[A_{ABCD} = 12^2 = 144\]

 

Höhe \(h\) der Pyramide \(ABCDS\) bestimmen:

 

\[h = d\,(S;x_1x_2\text{-Ebene}) = x_{3_S} = 8\]

 

Volumne der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

 

\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot h \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 \\[0.8em] &= 384 \end{align*}\]

 

Das Volumne des Pavillons beträgt 384 m³.

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Spatprodukts

 

Drei linear unabhängige Vektoren spannen einen Spat auf. Das Volumen der dreiseitigen Pyramide ABDS beträgt ein sechstel des Volumens des Spats

Die drei linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AS}\) spannen einen Spat auf. Das Volumen der dreiseitigen Pyramide \(ABDS\) beträgt ein sechstel des Volumens des Spats.

\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \end{align*}\]

 

Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AS}\) bestimmen:

 

\[A\,(12|0|0)\,,\enspace B\,(12|12|0)\,, \enspace D\,(0|0|0)\,,\enspace S\,(6|6|8)\]

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}\]

 

Volumen der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 12 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-12) & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 12 & \cdot & (-12) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 144 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| 0 \cdot (-6) + 0 \cdot 6 + 144 \cdot 8 \right| \\[0.8em] &= 384 \end{align*}\]

 

Das Volumne des Pavillons beträgt 384 m³.

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