Die Koordinaten des Punktes \(B\) lassen sich durch Vektoraddition berechnen.
\[\begin{align*} \overrightarrow{B} &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} & &| \; \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C} \\[0.8em] &= \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad B\,(12|12|0)\]
Gerade vierseitige Pyramide \(ABCDS\) mit quadratischer Grundfläche
Der Skizze sowie dem Text der Angabe entnimmt man folgende mathematische Sachverhalte:
Quadrat \(ABCD\)
\[B \in x_1x_2\text{-Ebene}\]
\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad x_{1_B} &= x_{1_A} \\[0.8em] x_{2_B} &= x_{2_C} \\[0.8em] x_{3_B} &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad B\,(12|12|0)\]
Quadratische Grundfläche \(ABCD\) und Höhe \(h\) der geraden vierseitigen Pyramide \(ABCDS\)
\[V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot h\]
Flächeninhalt \(A_{ABCD}\) der Grundfläche berechnen:
Die Grundfläche des Pavillons hat eine Seitenlänge von 12 m (siehe Angabe).
\[A_{ABCD} = 12^2 = 144\]
Höhe \(h\) der Pyramide \(ABCDS\) bestimmen:
\[h = d\,(S;x_1x_2\text{-Ebene}) = x_{3_S} = 8\]
Volumne der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:
\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot h \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 \\[0.8em] &= 384 \end{align*}\]
Das Volumne des Pavillons beträgt 384 m³.
Die drei linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AS}\) spannen einen Spat auf. Das Volumen der dreiseitigen Pyramide \(ABDS\) beträgt ein sechstel des Volumens des Spats.
\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \end{align*}\]
Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AS}\) bestimmen:
\[A\,(12|0|0)\,,\enspace B\,(12|12|0)\,, \enspace D\,(0|0|0)\,,\enspace S\,(6|6|8)\]
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}\]
Volumen der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:
\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \circ \overrightarrow{AS}\; \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 12 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & (-12) & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 12 & \cdot & (-12) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 144 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| 0 \cdot (-6) + 0 \cdot 6 + 144 \cdot 8 \right| \\[0.8em] &= 384 \end{align*}\]
Das Volumne des Pavillons beträgt 384 m³.
