Teilaufgabe 1c

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

1. Lösungsansatz: Lotgerade auf Ebene \(E\)

 

Es sei \(M\) der Mittelpunkt der Grundfläche \(ABCD\). Die Lotgerade \(l\) mit den Eigenschaften \(M \in l\) und \(l \perp E\) schneidet die Ebene \(E\) im Lotfußpunkt \(L\). Die \(x_3\)-Koordinate von \(L\) entspricht der Höhe über der Grundfläche, in der die Strebe (rot) an der Außenwand befestigt ist.

 

Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) berechnen:

\[\overrightarrow{M} = \overrightarrow{M}_{BD} = \frac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\]

oder

\[\overrightarrow{M} = \overrightarrow{M}_{AC} = \frac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\]

oder als Alternative:

Die Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) lassen sich aus den Koordinaten der Spitze \(S\,(6|6|8)\) ableiten. Da die Pyramide \(ABCDS\) eine gerade Pyramide ist, deren Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt, ist der Mittelpunkt \(M\) der Lotfußpunkt des Lotes der Spitze \(S\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene. Damit hat \(M\) dieselben \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten wie \(S\) und die \(x_3\)-Koordinate ist Null.

\[S\,(6|6|8) \quad \Longrightarrow \quad M\,(6|6|0)\]

 

Geradengleichung der Lotgeraden \(l\) aufstellen:

\[M \in l\,; \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad l\,\colon\; \overrightarrow{X} &= \overrightarrow{M} + \lambda \cdot \overrightarrow{n}_E & & \lambda \in \mathbb R \\[0.8em] l\,\colon\; \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\(x_3\)-Koordinate des Lotfußpunktes \(L\) berechnen:

Zur Berechnung des Lotfußpunktes \(L\) setzt man die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) aus der Geradengleichung von \(l\) in die Normalengleichung der Ebene \(E\) ein und löst die Gleichung nach dem Parameter \(λ\) auf.

 

\[l\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\]

\[E\,\colon\; 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\]

 

\[\begin{align*} l \cap E\,\colon\; 4 \cdot (6 + 4\lambda) + 3 \cdot (0 +3\lambda) - 48 &= 0 \\[0.8em] 24 + 16\lambda + 9\lambda - 48 &= 0 \\[0.8em] -24 + 25\lambda &= 0 & &| + 24 \\[0.8em] 25\lambda &= 24 & &| : 25 \\[0.8em] \lambda &= 0{,}96 \end{align*}\]

 

Parameterwert \( \lambda = 0{,}96\) in die Geradengleichung von \(l\) einsetzen:

 

\[L \in l\,\colon\; \overrightarrow{L} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + 0{,}96 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9{,}84 \\ 2{,}88 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad x_{3_L} = 2{,}88\]

 

Die Strebe ist an der südlichen Außenwand in einer Höhe von 2,88 m über der Grundfläche befestigt.

 

2. Lösungsansatz: Trigonometrische Beziehung im rechtwinkligen Dreieck

 

Rechtwinklige Dreiecke \(MNL\) und \(FNL\), Maß \(\varphi\) des Winkles \(\measuredangle LNF\) bzw. \(\measuredangle LNM\)

Die Länge der Strecke \([LF]\) entspricht der Höhe über der Grundfläche, in der die Strebe (rot) an der Außenwand befestigt ist.

 

Trigonometrische Betrachtung der rechtwinkligen Dreiecke \(MNL\) und \(FNL\):

\[\sin \varphi = \frac{\overline{LM}}{\overline{MN}}\,; \quad \sin \varphi = \frac{\overline{LF}}{\overline{NL}}\]

\[\Longrightarrow \quad \frac{\overline{LF}}{\overline{NL}} = \frac{\overline{LM}}{\overline{MN}} \quad \Longleftrightarrow \quad \overline{LF} = \frac{\overline{LM} \cdot \overline{NL}}{\overline{MN}}\]

 

Länge der Strecke \([MN]\) berechnen:

 

\(\displaystyle \overline{MN} = \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \;\) (siehe Angabe Teilaufgabe 1a)

 

Länge der Strecke \([LM]\) berechnen:

Abstand \(d\,(M;E)\) des Punktes \(M\) von der Ebene \(E\) (siehe Teilaufgabe 1b)

Die Länge der Strecke \([LM]\) entspricht dem Abstand des Punktes \(M\) von der Ebene \(E\).

\[M\,(6|6|0)\]

\(E\,\colon\: 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\)

 

\[\vert \overrightarrow{n}_E \vert = \left| \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\]

 

\[\begin{align*}\overline{LM} &= d\,(M;E) \\[0.8em] &= \frac{\vert 4m_1 + 3m_3 - 48 \vert}{\vert \overrightarrow{n}_E \vert} \\[0.8em] &= \frac{\vert 4 \cdot 6 + 3 \cdot 0 - 48 \vert}{5} \\[0.8em] &= \frac{24}{5} = 4{,}8 \end{align*}\]

  

Länge der Strecke \([NL]\) berechnen:

 

Die Länge der Strecke \([NL]\) lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

\[\begin{align*} {\overline{LM}}^2 + {\overline{NL}}^2 &= {\overline{MN}}^2 \\[0.8em] {\overline{NL}}^2 &= {\overline{MN}}^2 - {\overline{LM}}^2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \overline{NL} &= \sqrt{{\overline{MN}}^2 - {\overline{LM}}^2} \\[0.8em] &= \sqrt{6^2 - 4{,}8^2} \\[0.8em] &= 3{,}6 \end{align*}\]

  

Länge der Strecke \([LF]\) berechnen:

 

\[\overline{LF} = \frac{\overline{LM} \cdot \overline{NL}}{\overline{MN}} = \frac{4{,}8 \cdot 3{,}6}{6} = 2{,}88\]

 

Die Strebe ist an der südlichen Außenwand in einer Höhe von 2,88 m über der Grundfläche befestigt.