Teilaufgabe 1d

An einem Teil der südlichen Außenwand sind Solarmodule flächenbündig montiert. Die Solarmodule bedecken im Modell eine dreieckige Fläche, deren Eckpunkte die Spitze \(S\) sowie die Mittelpunkte der Kanten \([SB]\) und \([SC]\) sind.

Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

1. Lösungsansatz: Zweiter Strahlensatz

2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodunkts (Flächeninhalt eines Parallelogramms/Dreiecks)

3. Lösungsansatz: Trigonometrische Flächenberechnung

 

1. Lösungsansatz: Zweiter Strahlensatz

 

Dreieck BCS und dreieckige von den Solarmodulen bedeckten Fläche mit den zugehörigen Höhen h₁  und h₂

Dreieck \(BCS\) mit Höhe \(h_1\) und Dreieck \(M_{SB}M_{SC}S\) mit Höhe \(h_2\)

 

Flächeninhalt des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\):

 

\[A_{M_{SB}M_{SC}S} = \frac{1}{2} \cdot \overline{M_{SB}M_{SC}} \cdot h_2\]

 

Die Länge der Strecke \([M_{SB}M_{SC}]\) und die Länge der Höhe \(h_2\) lässt sich mithilfe des zweiten Strahlensatzes berechen.

 

Länge der Strecke \([M_{SB}M_{SC}]\) berechnen:

Dreieck BCS und dreieckige von den Solarmodulen bedeckten Fläche mit den zugehörigen Höhen h₁  und h₂

\[\frac{\overline{SM_{SB}}}{\overline{SB}} = \frac{\overline{M_{SB}M_{SC}}}{\overline{BC}} = \frac{1}{2}\]

\[\Longrightarrow \quad \overline{M_{SB}M_{SC}} = \frac{1}{2} \cdot \overline{BC} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

 

Länge der Höhe \(h_2\) berechnen:

Dreieck BCS und dreieckige von den Solarmodulen bedeckten Fläche mit den zugehörigen Höhen h₁  und h₂

\[\frac{h_2}{h_1} = \frac{\overline{M_{SB}M_{SC}}}{\overline{BC}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

\[\Longrightarrow \quad h_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1\]

 

Länge der Höhe \(h_1\) berechnen:

 

Mittelpunkte der Kanten [SB] und [SC], Mittelpunkt der Seitenlänge [BC], Höhe h₁ des Dreiecks BCS zur Grundlinie [BC]

Im rechtwinkligen Dreieck \(SMM_{BC}\) gilt nach dem Satz des Pythagoras:

\[\begin{align*} {h_1}^2 &= {\overline{MS}}^2 + {\overline{MM_{BC}}}^2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] h_1 &= \sqrt{{\overline{MS}}^2 + {\overline{MM_{BC}}}^2} \\[0.8em] &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\[0.8em] &= 10 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad h_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\]

 

Flächeninhalt \(A_{M_{SB}M_{SC}S}\) des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A_{M_{SB}M_{SC}S} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{M_{SB}M_{SC}} \cdot h_2 \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \\[0.8em] &= 15 \end{align*}\]

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodukts (Flächenihalt eines Parallelogramms/Dreiecks)

 

Die Spitze S und die Mittelpunkte der Kanten [SB] und [SC] legen zwei linear unabhängige Vektoren fest, deren halbes Vektorprodukt gleich dem Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten dreieckigen Fläche ist.

Das halbe Vektorprodukt der Vektoren \(\overrightarrow{SM_{SB}}\) und \(\overrightarrow{SM_{SC}}\) ist gleich dem Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten dreieckigen Fläche \(M_{SB}M_{SC}S\).

 

\[A_{M_{SB}M_{SC}S} = \frac{1}{2} \cdot \left| \left( \overrightarrow{SM_{SB}} \times \overrightarrow{SM_{SC}} \right) \right|\]

 

Vektoren \(\overrightarrow{SM_{SB}}\) und \(\overrightarrow{SM_{SC}}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{SM_{SB}} &= \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{SB} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{S} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{SM_{SC}} &= \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{SC} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{C} - \overrightarrow{S} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(A_{M_{SB}M_{SC}S}\) des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\) berechnen:

\[\begin{align*} A_{M_{SB}M_{SC}S} &= \frac{1}{2} \cdot \left| \left( \overrightarrow{SM_{SB}} \times \overrightarrow{SM_{SC}} \right) \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 3 & \cdot & (-4) & - & (-4) & \cdot & 3 \\ (-4) & \cdot & (-3) & - & 3 & \cdot & (-4) \\ 3 & \cdot & 3 & - & 3 & \cdot & (-3) \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 24 \\ 18 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 + 24^2 + 18^2} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{900} \\[0.8em] &= 15 \end{align*}\]

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².

 

3. Lösungsansatz: Trigonometrische Flächenberechnung

 

Maß φ des Winkels ∠ BSC

Ist z.B. das Maß \(\varphi\) des Winkels \(\measuredangle BSC\) bekannt, lässt sich der Flächeninhat \(A_{M_{SB}M_{SC}S}\) des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\) trigonometrisch berechnen.

\[\begin{align*}A_{M_{SB}M_{SC}S} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{SM_{SB}} \cdot \overline{SM_{SC}} \cdot \sin{\varphi} & &| \; \overline{SM_{SB}} = \overline{SM_{SC}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot {\overline{SM_{SB}}}^2 \cdot \sin{\varphi} & &| \; \overline{SM_{SB}} = \frac{1}{2} \cdot \overline{SB} \\[0.8em] &= \frac{1}{8} \cdot {\overline{SB}}^2 \cdot \sin{\varphi} \end{align*}\]

 

Maß \(\varphi\) des Winkels \(\measuredangle BSC\) berechnen:

 

1. Möglichkeit: Winkel zwischen zwei Vektoren

Maß φ des Winkels ∠ BSC zwischen den Vektoren von S nach B und von S nach C

Maß \(\varphi\) des Winkels \(\measuredangle BSC\) zwischen den den Vektoren \(\overrightarrow{SB}\) und \(\overrightarrow{SC}\)

\[\begin{align*}\cos{\varphi} &= \frac{\vert \overrightarrow{SB} \circ \overrightarrow{SC} \vert}{\vert \overrightarrow{SB} \vert \cdot \vert \overrightarrow{SC} \vert} & &| \; \vert \overrightarrow{SB} \vert = \vert \overrightarrow{SC} \vert \\[0.8em] &= \frac{\vert \overrightarrow{SB} \circ \overrightarrow{SC} \vert}{{\vert \overrightarrow{SB} \vert}^2} \end{align*}\]

 

Vektoren \(\overrightarrow{SB}\) und \(\overrightarrow{SC}\) und deren Betrag berechnen:

 

\[\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix}\]

 

\[\vert \overrightarrow{SB} \vert = \left| \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-8)^2} = 2\sqrt{34}\]

 

\[\begin{align*}\cos{\varphi} &= \frac{\vert \overrightarrow{SB} \circ \overrightarrow{SC} \vert}{{\vert \overrightarrow{SB} \vert}^2} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix} \right|}{(2\sqrt{34})^2} \\[0.8em] &= \frac{\vert 6 \cdot (-6) + 6 \cdot 6 + (-8) \cdot (-8) \vert}{136} \\[0.8em] &= \frac{8}{17} & &| \; \cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \varphi &= 68{,}8^{\circ} \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Satz des Pythagoras, Trigonometrie - rechtwinkliges Dreieck

Die Höhe h teilt das Dreieck BCS in zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Winkel sich trigonometrisch bestimmen lassen.

Höhe \(h\) des Dreiecks \(BCS\), rechtwinkliges Dreieck \(SMM_{BC}\) und rechtwinkliges Dreieck \(BM_{BC}S\)

 

Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck \(SMM_{BC}\) anwenden:

\[\begin{align*} {h}^2 &= {\overline{MS}}^2 + {\overline{MM_{BC}}}^2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] h &= \sqrt{{\overline{MS}}^2 + {\overline{MM_{BC}}}^2} \\[0.8em] &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\[0.8em] &= 10 \end{align*}\]

 

Trigonometrische Beziehung im rechtwinkligen Dreieck \(BM_{BC}S\) anwenden:

\[\begin{align*}\tan{\frac{\varphi}{2}} &= \frac{\frac{1}{2} \cdot \overline{BC}}{h} \\[0.8em] &= \frac{6}{10} \\[0.8em] &= \frac{3}{5} & &| \; \tan^{-1}(\dots) \\[0.8em] \frac{\varphi}{2} &= 34{,}4^{\circ} & &| \cdot 2 \\[0.8em] \varphi &= 68{,}8^{\circ} \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(A_{M_{SB}M_{SC}S}\) des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\) berechnen:

 

\[\begin{align*}A_{M_{SB}M_{SC}S} &= \frac{1}{8} \cdot {\overline{SB}}^2 \cdot \sin{\varphi} \\[0.8em] &= \frac{1}{8} \cdot (2\sqrt{34})^2 \cdot \sin{68{,}8^{\circ}} \\[0.8em] &= 15  \end{align*}\]

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Teilaufgabe 1c Teilaufgabe 1e »