Teilaufgabe 1e

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Die von den Solarmodulen bedeckte dreieckige Fläche \(M_{[SB]}M_{[SC]}S\) liegt in der Ebene \(E\) (siehe Teilaufgabe 1b). Der Neigungswinkel der Solarmodule gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Ebene \(E\) und der \(x_1x_2\)-Ebene.

Schnittwinkel zweier Ebenen

Schnittwinkel zweier Ebenen

Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zweier Ebenen

\[E_1\colon \enspace \overrightarrow{n}_1 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0\]

\[E_2\colon \enspace \overrightarrow{n}_2 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{B} \right) = 0\]

\[\cos \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \vert}{\vert \overrightarrow{n}_1 \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_2 \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \cos^{-1}(\dots)\]

\[(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ})\]

\[E\,\colon\; 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\,; \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\]

\[x_1x_2\text{-Ebene}\,\colon\; x_3 = 0\,; \quad \overrightarrow{n}_{x_1x_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\begin{align*} \cos{\alpha} &= \frac{\vert \overrightarrow{n}_E \circ \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert}{\vert \overrightarrow{n}_E \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \vert}{\sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} \\[0.8em] &= \frac{3}{5} & &| \; \cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &= 53{,}13^{\circ} \end{align*}\]

Laut Tabelle liegt der Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal möglichen Leistung der Solarmodule für einen Neigungswinkel von 53,13° zwischen 94 % und 98 %.