Lösung zu Teilaufgabe 1e
Die von den Solarmodulen bedeckte dreieckige Fläche \(M_{[SB]}M_{[SC]}S\) liegt in der Ebene \(E\) (siehe Teilaufgabe 1b). Der Neigungswinkel der Solarmodule gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Ebene \(E\) und der \(x_1x_2\)-Ebene.
Schnittwinkel zweier Ebenen
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zweier Ebenen
\[E_1\colon \enspace \overrightarrow{n}_1 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0\]
\[E_2\colon \enspace \overrightarrow{n}_2 \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{B} \right) = 0\]
\[\cos \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \vert}{\vert \overrightarrow{n}_1 \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_2 \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \alpha = \cos^{-1}(\dots)\]
\[(0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ})\]
\[E\,\colon\; 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\,; \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\]
\[x_1x_2\text{-Ebene}\,\colon\; x_3 = 0\,; \quad \overrightarrow{n}_{x_1x_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]
Skalarprodukt
Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]
Betrag eines Vektors
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \cos{\alpha} &= \frac{\vert \overrightarrow{n}_E \circ \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert}{\vert \overrightarrow{n}_E \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert 0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \vert}{\sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} \\[0.8em] &= \frac{3}{5} & &| \; \cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &= 53{,}13^{\circ} \end{align*}\]
Laut Tabelle liegt der Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal möglichen Leistung der Solarmodule für einen Neigungswinkel von 53,13° zwischen 94 % und 98 %.
