Teilaufgabe 2a

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Geraden \(\displaystyle g\;\colon\, \vec{X} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\,\), und \(\displaystyle h\;\colon\, \vec{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -9 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\mu \in \mathbb R\,\), gegeben. Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(T\).

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(T\).

(Ergebnis: \(T\,(2|-1|3)\)) 

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]

\[h\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -9 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\,; \enspace \mu \in \mathbb R\]

Zur Berechnug des Schnittpunktes \(T\) der Geraden \(g\) und \(h\) werden die Ortsvektoren \(\overrightarrow{X}\) der Geradengleichungen von \(g\) und \(h\) gleichgesetzt. Es ergibt sich ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für die zwei zu bestimmenden Parametren \(\lambda\) und \(\mu\).

 

\[g \cap h\,\colon\; \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -9 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

Lineares Gleichungssystem aufstellen:

 

\[\begin{align*} \text{I} & & & & 8 + 3\lambda &= -1 + \mu \\[0.8em] \text{II} & & \wedge & & 1 + \lambda &= 5 - 2\mu \\[0.8em] \text{III} & & \wedge & & 7 + 2\lambda &= -9 + 4\mu \\[2.4em] 2 \cdot \text{I} + \text{II}\,\colon\; & & & & 17 + 7\lambda &= 3 & &| - 17 \\[0.8em] & & & & 7\lambda &= -14 & &| : 7 \\[0.8em] & & & & \lambda &= -2 \\[2.4em] \lambda = -2 \; \text{in I}\,\colon\; & & & & 8 + 3 \cdot (-2) &= -1 + \mu & &| + 1 \\[0.8em] & & & & 8 - 6 + 1 &= \mu \\[0.8em] & & & & 3 &= \mu \\[2.4em] \lambda = -2\,; \enspace \mu = 3 \; \text{in III}\,\colon\; & & & & 7 + 2 \cdot (-2) &= -9 + 4 \cdot 3 \\[0.8em] & & & & 3 &= 3 \enspace (\text{w}) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad \lambda = -2\) und \(\mu = 3\) ist eindeutige Lösung

 

Parameterwert \(\lambda = -2\) in die Geradengleichung von \(g\) oder Parametrewert \(\mu = 3\) in die Geradengleichung von \(h\) einsetzen:

 

\[T \in g\,\colon\; \overrightarrow{T} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \]

\[\Longrightarrow \quad T\,(2|-1|3)\]

 

\[T \in h\,\colon\; \overrightarrow{T} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -9 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \]

\[\Longrightarrow \quad T\,(2|-1|3)\]

Schnittpunkt T der Geraden g und h

Schnittpunkt \(T\) der Geraden \(g\) und \(h\)

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