Teilaufgabe 2b

Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte \(P\) und \(Q\) an, die auf \(g\) liegen und von \(T\) gleich weit entfernt sind.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

1. Lösungsansatz: Richtungsvektor von \(g\) und Gegenvektor

 

Schnittpunkt T der Geraden g und h; Punkte P und Q, welche von T um die Länge des Richtungsvektors von T entfernt sind

Die beiden Punkte \(P \in g\) und \(Q \in g\) sind vom Punkt \(T\) um die Länge des Richtungsvektors \(\overrightarrow{u}_g\) der Geraden \(g\) entfernt.

 

\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\,; \quad \overrightarrow{u}_g = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[T\,(2|-1|3)\]

 

\[\overrightarrow{P} = \overrightarrow{T} + \overrightarrow{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad P\,(5|0|5)\]

 

\[\overrightarrow{Q} = \overrightarrow{T} - \overrightarrow{u}_g = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad Q\,(-1|-2|1)\]

 

2. Lösungsansatz: Aufpunkt von \(g\) wählen

 

Es sei \(P\) der Aufpunkt von \(g\):

 

\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad P\,(8|1|7)\]

 

Koordinaten des Punktes \(Q\) bestimmen:

 

\[P\,(8|1|7)\,, \enspace T\,(2|-1|3)\]

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{Q} &= \overrightarrow{P} + 2 \cdot \overrightarrow{PT} \\[0.8em] &= \overrightarrow{P} + 2 \cdot \left( \overrightarrow{T} - \overrightarrow{P}\right) \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + 2 \cdot \left[ \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad Q\,(-4|-3|-1)\]

Aufpunkt P der Geraden g; Q ∈ g liegt vom Schnittpunkt T der Geraden g und h um die Länge des Vektors von P nach T entfernt.

Aufpunkt \(P\) der Geraden \(g\); Der Punkt \(Q \in g\) liegt vom Schnittpunkt \(T\) der Geraden \(g\) und \(h\) um \(\overline{TQ} = \vert \overrightarrow{PT} \vert\) entfernt. 

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